Dasar Trigonometri

Sudut dan Perbandingan Panjang Sisi Segitiga

Kata trigonometri dibentuk dari kata Yunani untuk segitiga dan ukuran. Segitiga siku-siku menjadi titik awal yang alami karena perbandingan sisinya ditentukan oleh sudut. Trigonometri kemudian memperluas gagasan ini ke lingkaran satuan, fungsi periodik, dan berbagai konteks di luar segitiga.

Mengingat Kembali Teorema Pythagoras

Untuk segitiga siku-siku dengan kaki $a$ dan $b$ serta sisi miring $c$, teorema Pythagoras menyatakan:

Sisi miring berada di seberang sudut siku-siku. Teorema ini akan dipakai untuk menurunkan rasio sisi yang eksak pada segitiga siku-siku istimewa.

Mengenal Rasio dan Perbandingan

Fungsi trigonometri bermula dari rasio panjang sisi. Rasio membandingkan dua besaran, sedangkan proporsi menyatakan bahwa dua rasio bernilai sama.

Misalkan penggaris dan pohon berdiri tegak di tanah datar yang sama, lalu bayangannya diukur pada waktu yang sama. Sinar matahari yang sejajar membuat kedua segitiga tinggi-bayangan sebangun. Jika tinggi penggaris $6 \text{ cm}$, bayangannya $3 \text{ cm}$, dan bayangan pohon $150 \text{ cm}$, misalkan tinggi pohon adalah $h$:

Proporsi ini berlaku karena kedua segitiga memiliki dua sudut lancip yang sama. Adanya bayangan saja belum menjamin perbandingannya sama.

Segitiga Sebangun

Segitiga sebangun memiliki sudut-sudut bersesuaian yang sama dan sisi-sisi bersesuaian yang sebanding. Salah satu uji baku berikut sudah cukup untuk membuktikan kesebangunan:

Segitiga sebangun memiliki bentuk yang sama meskipun ukurannya berbeda. Setiap panjang bersesuaian dikalikan dengan faktor skala yang sama.

Aplikasi Segitiga Sebangun

Gunakan faktor skala yang sama untuk mencari panjang yang belum diketahui atau mempertahankan perbandingan ukuran:

1. Pengukuran tinggi: Bayangan atau garis pandang dapat membentuk segitiga sebangun untuk objek yang sulit diukur langsung.

2. Gambar berskala: Denah atau model mempertahankan proporsi ketika semua panjang diperbesar atau diperkecil dengan satu faktor skala.

3. Geometri dan konstruksi: Pengukuran tidak langsung dapat diperiksa melalui sudut bersesuaian dan sisi yang sebanding.

Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri membandingkan sisi-sisi segitiga siku-siku terhadap sudut lancip acuan.

Bayangkan sebuah segitiga siku-siku dengan sudut $\theta$ (theta). Kita namakan sisi-sisinya sebagai:

• Sisi miring (hipotenusa): sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku
• Sisi depan: sisi yang berhadapan dengan sudut $\theta$.
• Sisi samping: sisi yang berdekatan dengan sudut $\theta$ selain sisi miring.

Dari ketiga sisi ini, kita memperoleh enam perbandingan trigonometri dasar. Untuk sudut lancip pada segitiga siku-siku yang tidak degenerat, ketiga panjang sisi positif sehingga semua rasio berikut terdefinisi:

1. Sinus ($\sin$):

   $$\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}$$

2. Kosinus ($\cos$):

   $$\cos \theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}$$

3. Tangen ($\tan$):

   $$\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$$

4. Kosekan ($\csc$):

   $$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}}$$

5. Sekan ($\sec$):

   $$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}}$$

6. Kotangen ($\cot$):

   $$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}}$$

Mengapa Setiap Sudut Memiliki Rasio Tetap

Dua segitiga siku-siku dengan sudut lancip yang sama, misalnya $\theta=30^\circ$, juga memiliki sudut siku-siku yang sama. Uji AA membuktikan bahwa keduanya sebangun. Mengalikan semua sisi dengan faktor yang sama tidak mengubah hasil bagi panjang sisi bersesuaian.

Contoh sederhana:

• Segitiga $A$ memiliki sisi depan $3 \text{ cm}$ dan sisi miring $6 \text{ cm}$.
• Segitiga $B$ memiliki sisi depan $5 \text{ cm}$ dan sisi miring $10 \text{ cm}$.

Jika kita hitung $\sin \theta$ untuk kedua segitiga:

• $\sin \theta$ pada segitiga $A$ adalah $\frac{3}{6} = 0{,}5$.
• $\sin \theta$ pada segitiga $B$ adalah $\frac{5}{10} = 0{,}5$.

Meskipun ukuran kedua segitiga berbeda, nilai $\sin \theta$ tetap sama. Penalaran yang sama berlaku pada rasio sisi lainnya.

Pada lingkaran satuan, titik yang bersesuaian dengan $\theta$ memiliki koordinat $(\cos \theta,\sin \theta)$. Definisi ini memperluas sinus dan kosinus melampaui sudut lancip pada segitiga siku-siku.

Rasio segitiga siku-siku dan koordinat lingkaran satuan menghasilkan nilai yang sama untuk sudut lancip. Karena itu, nilai tersebut dapat digunakan pada segitiga dengan ukuran berbeda.

Mengukur Panjang dan Memodelkan Perubahan Periodik

Trigonometri menghubungkan sudut dengan panjang dan perubahan periodik. Karena itu, trigonometri muncul dalam pengukuran, navigasi, konstruksi, dan model gelombang. Bayangan, arah navigasi, dan gelombang berputar semuanya dapat disederhanakan menjadi perbandingan dua sisi segitiga.

Mengukur Tinggi dengan Bayangan

Untuk objek tegak yang berdekatan di tanah datar, tinggi dibagi panjang bayangan bernilai sama jika semua bayangan diukur pada waktu yang sama. Kesamaan rasio itu berasal dari sinar matahari yang sejajar dan segitiga yang sebangun.

Lebih dari $2200 \text{ tahun}$ lalu, Eratosthenes memperkirakan keliling Bumi dengan membandingkan sudut Matahari di dua lokasi dan menggabungkan selisih sudut itu dengan jarak antarlokasi. Tanpa jarak tersebut, selisih sudut saja tidak dapat menentukan keliling Bumi.

Navigasi

Para pelaut zaman dulu menggunakan trigonometri untuk navigasi dengan mengukur sudut antara horizon dan bintang. Pengukuran sudut itu memberi posisi kapal di laut, tempat yang tidak punya penanda daratan. Cara itu bekerja karena satu sudut yang terukur dan satu jarak yang diketahui menentukan sebuah segitiga secara lengkap.

Arsitektur dan Konstruksi

Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung kemiringan atap, tinggi menara, dan banyak aspek struktural bangunan. Tukang atap mengetahui jarak datar dan kemiringan yang diinginkan tetapi tidak mengetahui panjang kasau, dan sinus atau tangen menghitung panjang yang belum diketahui itu.

Elektronik dan Gelombang

Gelombang suara, gelombang radio, dan arus listrik bolak-balik dapat dimodelkan menggunakan fungsi sinus dan kosinus. Gelombang berulang, sehingga sudut yang melewati satu putaran penuh menggambarkan siklus berikutnya. Sifat berulang itulah yang dipakai fungsi sinus dan kosinus untuk menggambarkan sinyal periodik.

Mengukur Tinggi dengan Perbandingan Bayangan

Pilih beberapa objek tegak yang berdekatan di tanah datar dan ukur bayangannya pada waktu yang hampir sama. Dengan demikian, sudut Matahari dapat dianggap sama.

1. Ukur tinggi acuan $h_r$ dan panjang bayangan mendatarnya $s_r$.

2. Hitung rasio bersama $k=h_r/s_r$.

3. Ukur panjang bayangan objek lain $s$ dan perkirakan tingginya dengan $h=ks$.

4. Jika diperlukan, hitung sudut elevasi Matahari dengan $\theta=\arctan k$.

Sebagai contoh, jika objek acuan setinggi $1{,}5 \text{ m}$ memiliki bayangan $2{,}0 \text{ m}$, maka $k=0{,}75$. Objek dengan bayangan $8{,}0 \text{ m}$ diperkirakan memiliki tinggi

Jika tanah miring, objek tidak tegak, atau waktu pengukuran berbeda jauh, model sederhana ini tidak berlaku tanpa penyesuaian.