Perbandingan Sinus dan Kosinus

Nilai Sinus dan Kosinus untuk Sudut Umum

Sudut	Nilai Sinus $\sin \theta$	Nilai Desimal	Nilai Kosinus $\cos \theta$	Nilai Desimal
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$1$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$90^\circ$	$1$	$1$	$0$	$0$

Besaran yang Dihitung dengan Sinus dan Kosinus

Sinus dan kosinus digunakan dalam situasi berikut:

Mengukur tinggi bangunan atau objek
Navigasi dan penentuan arah
Arsitektur dan konstruksi
Fisika dan teknik
Desain dan perhitungan struktur

Model Segitiga dengan Sudut Siku pada Piramida

Bayangkan penampang tengah sebuah piramida beraturan yang melalui puncak dan titik tengah salah satu sisi alas. Separuh penampang ini berupa segitiga siku-siku. Kaki tegaknya adalah tinggi piramida, kaki mendatarnya adalah setengah lebar alas, dan sisi miringnya adalah apotema dari titik tengah sisi alas ke puncak.

Menggunakan Sinus untuk Menghitung Tinggi Piramida

Misalkan apotema tersebut sepanjang $600 \text{ m}$ dan membentuk sudut $41^\circ$ terhadap alas. Tinggi piramida merupakan sisi di depan sudut tersebut.

Menghitung Tinggi Piramida dengan Sinus

Segitiga siku-siku dari penampang itu, dengan sudut 41 derajat pada alas, tinggi piramida di depannya, setengah lebar alas di sampingnya, dan apotema sebagai sisi miring.

Untuk menghitung tinggi piramida, kita gunakan perbandingan sinus:

\sin 41^\circ = \frac{\text{tinggi piramida}}{\text{apotema piramida}}

Tinggi piramida pada model tersebut sekitar $393{,}6 \text{ m}$ .

Menggunakan Kosinus untuk Menghitung Setengah Lebar Alas

Kaki mendatar berada di samping sudut $41^\circ$ , sehingga kosinus memberikan setengah lebar alas:

\cos 41^\circ = \frac{\text{setengah lebar alas}}{\text{apotema piramida}}

Jadi, lebar penuh alas pada penampang tersebut sekitar $2y = 905{,}7 \text{ m}$ .

Membandingkan Sinus Kosinus dan Tangen

Ketiga perbandingan memakai tiga sisi yang sama pada segitiga siku-siku, tetapi masing-masing membandingkan pasangan sisi yang berbeda. Memisahkan pasangan sisi yang dipakai dari sifat yang dimiliki bersama membuat sinus, kosinus, dan tangen tidak tertukar saat dibaca.

Perbedaan

Setiap baris menyebut pasangan sisi yang dibandingkan satu perbandingan, ditulis sebagai pecahan dua sisi pada segitiga yang sama.

Sinus $\sin \theta$ membandingkan sisi depan dengan sisi miring.
Kosinus $\cos \theta$ membandingkan sisi samping dengan sisi miring.
Tangen $\tan \theta$ membandingkan sisi depan dengan sisi samping.

Persamaan

Ketiganya didefinisikan pada segitiga siku-siku yang sama, sehingga memiliki beberapa sifat yang sama. Masing-masing hanya bergantung pada sudutnya, sehingga segitiga dengan ukuran berbeda memberi nilai yang sama. Sifat bersama itu mengikuti definisi tersebut, dan pembagian yang mengaitkan ketiga rasio memerlukan kosinus yang tidak nol.

Ketiganya adalah perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku.
Ketiganya berubah nilainya sesuai dengan perubahan sudut.
Ketiga rasio ini memiliki hubungan matematika:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta},\qquad \cos \theta \ne 0$

Latihan

Seorang anak menerbangkan layang-layang setinggi $3{,}5 \text{ m}$ di atas tanah datar dan memegang ujung benang yang lurus serta tegang pada ketinggian $60 \text{ cm}$ . Jika benang membentuk sudut $25^\circ$ terhadap arah mendatar, berapa panjang benang tersebut?

Masalah Layang-layang

Visualisasi masalah panjang benang layang-layang.

Untuk menyelesaikan masalah ini, perbandingan trigonometri mana yang sebaiknya kita gunakan?

Solusi yang tepat:

Kita perlu menghitung panjang benang (sisi miring)
Kita tahu tinggi efektif layang-layang, yaitu $3{,}5 \text{ m} - 0{,}6 \text{ m} = 2{,}9 \text{ m}$ .
Kita tahu sudut elevasi $25^\circ$ .
Karena kita mencari sisi miring dan kita tahu sisi depan (tinggi efektif), kita gunakan perbandingan sinus:
$\sin 25^\circ = \frac{\text{tinggi efektif}}{\text{panjang benang}}$

Jika dibulatkan ke persepuluhan meter terdekat, panjang benang sekitar $6{,}9 \text{ m}$ .