Perbandingan Tangen

Perbandingan Sisi Depan dengan Sisi Samping

Tangen ditulis sebagai $\tan$ dan digunakan pada segitiga siku-siku. Tangen membandingkan sisi depan sebuah sudut lancip dengan sisi sampingnya. Kedua sisi itu diukur dari sudut yang sama, dan karena yang dipakai adalah perbandingannya, segitiga yang lebih besar dengan sudut sama menghasilkan nilai tangen yang sama.

Pengertian Tangen

Tangen adalah perbandingan antara panjang sisi depan (sisi di depan sudut yang diketahui) dengan sisi samping (sisi yang bersebelahan dengan sudut) pada sebuah segitiga siku-siku.

\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}

Visualisasi Tangen pada Segitiga

\tan

adalah perbandingan sisi depan (opposite) dengan sisi samping (adjacent).

Pada segitiga siku-siku, berlaku:

Sisi depan adalah sisi yang berhadapan dengan sudut $\theta$ .
Sisi samping adalah sisi yang bersebelahan dengan sudut $\theta$ selain sisi miring.
Tangen didapat dengan membagi panjang sisi depan dengan sisi samping

Contoh Nilai Tangen

Nilai tangen untuk sudut istimewa dapat ditulis secara eksak. Bentuk desimal berikut hanya merupakan pendekatan:

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$

Nilai eksak tersebut berasal dari perbandingan sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut $30^\circ$ , $45^\circ$ , atau $60^\circ$ .

Menghitung Nilai Tangen

Nilai tangen berasal dari kedua kaki segitiga siku-siku, jadi contoh berikut mengambil sisi depan dan sisi samping lalu membaginya. Pastikan kedua sisi itu diukur dari sudut yang sama, karena menukar sisi depan dan sisi samping menghasilkan nilai yang berbeda.

Contoh Menghitung Tangen

Perhatikan segitiga siku-siku yang memiliki sudut $30^\circ$ , sisi depan $15 \text{ cm}$ , sisi samping $15\sqrt{3} \text{ cm}$ , dan sisi miring .

Contoh Segitiga dengan Sudut

30^\circ

Perbandingan sisi depan (

15 \text{ cm}

) dengan sisi samping (

15\sqrt{3} \text{ cm}

Maka nilai tangen dari sudut tersebut adalah:

\begin{aligned}\tan 30^\circ &= \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \\ &= \frac{15}{15\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577\end{aligned}

Mengukur Kemiringan dan Ketinggian

Tangen menghubungkan sudut kemiringan dengan perubahan vertikal dan horizontal pada segitiga siku-siku. Hubungan ini dapat digunakan untuk:

Menghitung tinggi objek dari sudut elevasi dan jarak mendatar
Menghitung kemiringan jalan atau tangga dari kenaikan vertikal dan jarak mendatar
Menghitung sudut atap dari tinggi dan lebar penampangnya

Latihan Soal

Perhatikan segitiga siku-siku berikut. Sudut lancipnya adalah $\theta$ , sisi depannya $15 \text{ cm}$ , dan sisi sampingnya $7 \text{ cm}$ .

Segitiga dengan Sudut

\theta

Segitiga dengan sisi depan

15 \text{ cm}

dan sisi samping

7 \text{ cm}

Tentukan $\tan \theta$ dan jelaskan dua sisi mana yang membentuk perbandingannya.

Pembahasan

Terhadap sudut $\theta$ , sisi sepanjang $15 \text{ cm}$ merupakan sisi depan dan sisi sepanjang $7 \text{ cm}$ merupakan sisi samping. Tangen membandingkan tepat kedua sisi tersebut:

\begin{aligned} &\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{15 \text{ cm}}{7 \text{ cm}} \\ &= \frac{15}{7} \approx 2{,}14 \end{aligned}

Satuan sentimeter dapat dicoret karena muncul pada pembilang dan penyebut. Karena itu, tangen tidak memiliki satuan dan $\tan \theta \approx 2{,}14$ . Nilainya lebih besar dari $1$ , sesuai dengan sisi depan yang lebih panjang daripada sisi samping.

Sebagai pemeriksaan, $\theta=\arctan(15/7)\approx65{,}0^\circ$ , sesuai dengan sudut lancip pada diagram.