Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri

Nilai Trigonometri Eksak dari Segitiga dan Lingkaran Satuan

Sudut istimewa adalah sudut yang nilai trigonometrinya dapat ditulis secara eksak tanpa kalkulator. Nilai-nilai tersebut berasal dari dua segitiga siku-siku yang sudah dikenal dan koordinat pada lingkaran satuan. Penurunan dari kedua bentuk ini memberi cara untuk menghitung kembali setiap nilai pada tabel.

Sudut-sudut istimewa yang paling umum adalah $0^\circ$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , dan $90^\circ$ .

Visualisasi Sudut Istimewa pada Lingkaran Satuan

Masukkan sudut

0^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

, atau

90^\circ

untuk melihat posisi sudut istimewa.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Radian

Asal Nilai Eksak

Nilai eksak untuk $30^\circ$ , $45^\circ$ , dan $60^\circ$ berasal dari dua segitiga yang panjang sisinya diketahui secara eksak. Segitiga pertama berasal dari setengah persegi, dan segitiga kedua berasal dari setengah segitiga sama sisi, sehingga kedua kelompok perbandingannya dapat dibaca tanpa kalkulator.

Segitiga dengan Sudut Empat Puluh Lima Derajat

Sebuah persegi yang dipotong sepanjang diagonal menghasilkan segitiga siku-siku sama kaki. Jika kedua kaki panjangnya $1$ , teorema Pythagoras memberikan sisi miring $\sqrt{2}$ :

1^2+1^2=(\sqrt{2})^2

Segitiga dengan Sudut Tiga Puluh dan Enam Puluh Derajat

Segitiga sama sisi dengan panjang sisi $2$ yang dibagi dua menghasilkan dua segitiga siku-siku. Panjang sisi di depan $30^\circ$ , di depan $60^\circ$ , dan sisi miringnya berturut-turut adalah $1$ , $\sqrt{3}$ , dan $2$ :

\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}

Nilai pada $0^\circ$ dan $90^\circ$ berasal dari titik lingkaran satuan $(1,0)$ dan $(0,1)$ . Karena tangen adalah $\sin \theta/\cos \theta$ , $\tan 90^\circ$ tidak terdefinisi: penyebutnya nol.

Tabel Nilai Eksak

Penurunan di atas menghasilkan tabel berikut:

Perbandingan	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin \theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{tidak terdefinisi}$

Nilai Trigonometri Eksak dari Segitiga dan Lingkaran Satuan

Sudut-sudut istimewa yang paling umum adalah

0^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

, dan

90^\circ

Visualisasi Sudut Istimewa pada Lingkaran Satuan

Masukkan sudut

0^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

, atau

90^\circ

untuk melihat posisi sudut istimewa.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Radian

Asal Nilai Eksak

Nilai eksak untuk

30^\circ

45^\circ

, dan

60^\circ

berasal dari dua segitiga yang panjang sisinya diketahui secara eksak. Segitiga pertama berasal dari setengah persegi, dan segitiga kedua berasal dari setengah segitiga sama sisi, sehingga kedua kelompok perbandingannya dapat dibaca tanpa kalkulator.

Sebuah persegi yang dipotong sepanjang diagonal menghasilkan segitiga siku-siku sama kaki. Jika kedua kaki panjangnya

1

, teorema Pythagoras memberikan sisi miring

\sqrt{2}

1^2+1^2=(\sqrt{2})^2

\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\tan 45^\circ=\frac{1}{1}=1

Segitiga sama sisi dengan panjang sisi

2

yang dibagi dua menghasilkan dua segitiga siku-siku. Panjang sisi di depan

30^\circ

, di depan

60^\circ

, dan sisi miringnya berturut-turut adalah

1

\sqrt{3}

, dan

2

\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}

\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}

\cos 30^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}

Nilai pada

0^\circ

dan

90^\circ

berasal dari titik lingkaran satuan

(1,0)

dan

(0,1)

. Karena tangen adalah

\sin \theta/\cos \theta

\tan 90^\circ

tidak terdefinisi: penyebutnya nol.

Tabel Nilai Eksak

Penurunan di atas menghasilkan tabel berikut:

Perbandingan	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin \theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{tidak terdefinisi}$