Aplikasi Turunan

Turunan untuk Menganalisis Gerak

Turunan menjelaskan bagaimana suatu besaran berubah terhadap masukannya. Gerak memberi contoh yang konkret: dari fungsi posisi sebuah benda, kita dapat menentukan kecepatan sesaat lalu percepatannya. Keduanya sama-sama turunan, sehingga satu fungsi posisi sudah cukup untuk membaca dua besaran itu tanpa mengukur ulang di lapangan.

Kecepatan Sesaat dari Posisi

Saat mobil bergerak, posisinya berubah terhadap waktu. Kecepatan adalah laju perubahan posisi tersebut. Jika $s(t)$ menyatakan posisi, maka kecepatan sesaat $v(t)$ pada waktu $t$ adalah turunan pertama fungsi posisi.

v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}

Pada setiap waktu ketika $s$ dapat diturunkan, turunan ini memberikan kecepatan pada saat tersebut. Kecepatan rata-rata memakai suatu selang waktu.

Menentukan Fungsi Kecepatan

Misalnya, gerak sebuah partikel ditentukan oleh fungsi posisi $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ , dengan $s$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Untuk menemukan fungsi kecepatannya, kita cukup menurunkan fungsi $s(t)$ terhadap $t$ .

v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t)

Pada $t = 1 \text{ detik}$ , kecepatannya adalah $v(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 0 \text{ m/s}$ . Kecepatan nol berarti partikel berhenti sesaat, tetapi belum membuktikan bahwa arah geraknya berubah. Faktorkan fungsi kecepatan untuk memeriksa tandanya di kedua sisi $t=1$ :

v(t)=3(t-1)(t-3)

Untuk $0<t<1$ , kedua faktor bernilai negatif sehingga $v(t)>0$ . Untuk $1<t<3$ , kedua faktor berlainan tanda sehingga $v(t)<0$ . Perubahan tanda kecepatan pada $t=1$ membuktikan bahwa partikel berbalik arah pada saat tersebut.

Percepatan dari Kecepatan

Kecepatan dapat berubah, misalnya ketika mobil mempercepat atau mengerem. Laju perubahan kecepatan disebut percepatan. Percepatan $a(t)$ adalah turunan pertama dari kecepatan dan karena itu merupakan turunan kedua dari posisi.

a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}

Menentukan Fungsi Percepatan

Melanjutkan contoh partikel sebelumnya, kita sudah punya fungsi kecepatan $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ . Fungsi percepatannya dapat kita cari dengan menurunkan fungsi $v(t)$ .

a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 9)

Dari sini, kita bisa tahu percepatan partikel di setiap waktu. Misalnya, pada $t = 3 \text{ detik}$ , percepatannya adalah $a(3) = 6(3) - 12 = 6 \text{ meter/detik}^2$ .

Menentukan Tinggi Maksimum pada Gerak Vertikal

Sebuah bola dilempar lurus ke atas. Ketinggiannya, $h(t)$ dalam meter, setelah $t \text{ detik}$ diberikan oleh persamaan $h(t) = 50t - 5t^2$ .

Pertama, kita bisa cari fungsi kecepatan dan percepatannya.

Fungsi kecepatan:

v(t) = h'(t) = 50 - 10t

Fungsi percepatan:

a(t) = v'(t) = -10

Dalam model sederhana ini, arah ke atas ditetapkan sebagai arah positif dan hambatan udara diabaikan. Percepatan gravitasi di dekat permukaan Bumi dibulatkan dari $-9{,}8 \text{ m/s}^2$ menjadi $-10 \text{ m/s}^2$ . Tanda negatif menunjukkan bahwa percepatan mengarah ke bawah.

Karena $h(0)=0$ dan $h(10)=0$ , gerak yang dimodelkan berlangsung sejak bola dilempar pada $t=0$ hingga kembali ke ketinggian awal pada $t=10$ .

Sekarang kita tentukan kapan bola mencapai ketinggian maksimum.

Pada titik tertinggi, kecepatan vertikal bola berubah dari positif menjadi negatif. Karena itu, kita mencari $v(t)=0$ di dalam interval waktu gerak bola.

v(t) = 0

Jadi, bola mencapai puncak pada $5 \text{ detik}$ . Untuk mencari tahu berapa tinggi maksimumnya, kita masukkan $t=5$ kembali ke fungsi ketinggian awal.

\begin{aligned} h(5) &= 50(5) - 5(5)^2 \\ &= 250 - 125 \\ &= 125 \end{aligned}

Jadi, tinggi maksimum bola adalah $125 \text{ meter}$ . Untuk mencari tinggi maksimum, turunkan fungsi posisi, cari saat kecepatan nol selama bola bergerak, lalu substitusikan waktu tersebut ke fungsi ketinggian semula.