Komponen Vektor

Menguraikan Vektor Sepanjang Sumbu Koordinat

Setiap vektor pada bidang koordinat dapat diuraikan sepanjang kedua sumbu koordinat. Dalam $\vec{v}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}$ , bilangan bertanda $a$ dan $b$ adalah komponen skalar. Vektor $a\mathbf{i}$ dan $b\mathbf{j}$ adalah komponen vektor yang bersesuaian, yaitu proyeksi ortogonal pada kedua sumbu.

Komponen skalar menunjukkan seberapa jauh dan ke arah bertanda mana vektor membentang sepanjang sumbu $x$ dan $y$ . Setiap vektor pada bidang merupakan kombinasi linear dari vektor satuan $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ .

Visualisasi Vektor dan Komponennya

Vektor

AB

dan komponennya pada sumbu

x

dan

y

, dengan komponen

z

bernilai nol.

Jika kita memiliki vektor $\overrightarrow{AB}$ , maka:

\overrightarrow{AB} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j}

Pada bentuk ini:

$a$ adalah komponen skalar horizontal, sedangkan $a\mathbf{i}$ adalah proyeksi vektor yang bersesuaian
$b$ adalah komponen skalar vertikal, sedangkan $b\mathbf{j}$ adalah proyeksi vektor yang bersesuaian
$\mathbf{i}$ adalah vektor satuan arah sumbu $x$
$\mathbf{j}$ adalah vektor satuan arah sumbu $y$

Contoh Komponen Vektor

Perhatikan vektor $\overrightarrow{AB}$ pada diagram. Vektor ini dapat ditulis sebagai:

\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}

Ini berarti $\overrightarrow{AB}$ memiliki komponen skalar $6$ dan $8$ , dengan proyeksi vektor $6\mathbf{i}$ ke kanan dan $8\mathbf{j}$ ke atas.

Panjang Vektor dari Setiap Komponen

Ketika kita telah mengetahui komponen-komponen suatu vektor, kita dapat menghitung panjang atau besar vektor tersebut menggunakan teorema Pythagoras.

Panjang vektor $\overrightarrow{AB}$ dilambangkan dengan $|\overrightarrow{AB}|$ dan dihitung dengan rumus:

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + b^2}

Pada rumus ini, $a$ dan $b$ adalah komponen vektor $\overrightarrow{AB}$ .

Contoh Perhitungan Panjang Vektor

Untuk vektor $\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ , panjang vektornya adalah:

\begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Vektor dapat digunakan pada bidang datar dua dimensi dan ruang tiga dimensi.

Vektor dalam Ruang 3D

Visualisasi vektor beserta komponennya dalam ruang tiga dimensi.

Dalam ruang tiga dimensi, sebuah vektor memiliki tiga komponen: komponen x, komponen y, dan komponen z. Vektor di ruang tiga dimensi dapat dinyatakan sebagai:

\vec{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}

Pada bentuk ini:

$a$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $x$ , sedangkan $a\mathbf{i}$ adalah proyeksi vektornya
$b$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $y$ , sedangkan $b\mathbf{j}$ adalah proyeksi vektornya
$c$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $z$ , sedangkan $c\mathbf{k}$ adalah proyeksi vektornya
$\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , dan $\mathbf{k}$ adalah vektor satuan arah sumbu $x$ , $y$ , dan $z$

Panjang vektor dalam ruang tiga dimensi dihitung dengan rumus:

|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Vektor Satuan Arah

Untuk menyatakan arah vektor tak nol, kita dapat menggunakan vektor satuan. Vektor satuan memiliki besar $1 \text{ satuan}$ . Kita memperolehnya dengan membagi vektor tak nol tersebut dengan besarnya.

Vektor satuan arah dari $\overrightarrow{AB}$ kita lambangkan dengan $\mathbf{u}_{AB}$ dan dihitung dengan:

\mathbf{u}_{AB} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}

Contoh Vektor Satuan Arah

Untuk vektor $\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ dengan besar $10$ , vektor satuan arahnya adalah:

\begin{aligned} \mathbf{u}_{AB} &= \frac{6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}}{10} \\ &= \frac{6}{10}\mathbf{i} + \frac{8}{10}\mathbf{j} \\ &= 0{,}6\mathbf{i} + 0{,}8\mathbf{j} \end{aligned}

Vektor satuan ini menunjukkan arah dari vektor $\overrightarrow{AB}$ tanpa memperhatikan besarnya.

Aplikasi Komponen Vektor

Penguraian vektor pada sumbu yang dipilih dipakai dalam perhitungan berikut:

Menghitung kecepatan dan perpindahan dalam fisika
Menganalisis gaya dalam mekanika
Menentukan arah dan besar resultan dalam pergerakan objek
Navigasi dan penentuan posisi dalam sistem koordinat

Komponen vektor memisahkan besar dan arah pada sumbu yang dipilih. Komponen pada setiap sumbu dapat dihitung secara terpisah sebelum digabungkan kembali.

Menguraikan Vektor Sepanjang Sumbu Koordinat

Visualisasi Vektor dan Komponennya

Vektor

AB

dan komponennya pada sumbu

x

dan

y

, dengan komponen

z

bernilai nol.

Jika kita memiliki vektor $\overrightarrow{AB}$ , maka:

\overrightarrow{AB} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j}

Pada bentuk ini:

$a$ adalah komponen skalar horizontal, sedangkan $a\mathbf{i}$ adalah proyeksi vektor yang bersesuaian
$b$ adalah komponen skalar vertikal, sedangkan $b\mathbf{j}$ adalah proyeksi vektor yang bersesuaian
$\mathbf{i}$ adalah vektor satuan arah sumbu $x$
$\mathbf{j}$ adalah vektor satuan arah sumbu $y$

Contoh Komponen Vektor

Perhatikan vektor $\overrightarrow{AB}$ pada diagram. Vektor ini dapat ditulis sebagai:

\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}

Ini berarti $\overrightarrow{AB}$ memiliki komponen skalar $6$ dan $8$ , dengan proyeksi vektor $6\mathbf{i}$ ke kanan dan $8\mathbf{j}$ ke atas.

Panjang Vektor dari Setiap Komponen

Ketika kita telah mengetahui komponen-komponen suatu vektor, kita dapat menghitung panjang atau besar vektor tersebut menggunakan teorema Pythagoras.

Panjang vektor $\overrightarrow{AB}$ dilambangkan dengan $|\overrightarrow{AB}|$ dan dihitung dengan rumus:

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + b^2}

Pada rumus ini, $a$ dan $b$ adalah komponen vektor $\overrightarrow{AB}$ .

Contoh Perhitungan Panjang Vektor

Untuk vektor $\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ , panjang vektornya adalah:

\begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Vektor dapat digunakan pada bidang datar dua dimensi dan ruang tiga dimensi.

Vektor dalam Ruang 3D

Visualisasi vektor beserta komponennya dalam ruang tiga dimensi.

Dalam ruang tiga dimensi, sebuah vektor memiliki tiga komponen: komponen x, komponen y, dan komponen z. Vektor di ruang tiga dimensi dapat dinyatakan sebagai:

\vec{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}

Pada bentuk ini:

$a$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $x$ , sedangkan $a\mathbf{i}$ adalah proyeksi vektornya
$b$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $y$ , sedangkan $b\mathbf{j}$ adalah proyeksi vektornya
$c$ adalah komponen skalar sepanjang sumbu $z$ , sedangkan $c\mathbf{k}$ adalah proyeksi vektornya
$\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , dan $\mathbf{k}$ adalah vektor satuan arah sumbu $x$ , $y$ , dan $z$

Panjang vektor dalam ruang tiga dimensi dihitung dengan rumus:

|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Vektor Satuan Arah

Vektor satuan arah dari $\overrightarrow{AB}$ kita lambangkan dengan $\mathbf{u}_{AB}$ dan dihitung dengan:

\mathbf{u}_{AB} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}

Contoh Vektor Satuan Arah

Untuk vektor $\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ dengan besar $10$ , vektor satuan arahnya adalah:

\begin{aligned} \mathbf{u}_{AB} &= \frac{6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}}{10} \\ &= \frac{6}{10}\mathbf{i} + \frac{8}{10}\mathbf{j} \\ &= 0{,}6\mathbf{i} + 0{,}8\mathbf{j} \end{aligned}

Vektor satuan ini menunjukkan arah dari vektor $\overrightarrow{AB}$ tanpa memperhatikan besarnya.

Aplikasi Komponen Vektor

Penguraian vektor pada sumbu yang dipilih dipakai dalam perhitungan berikut:

Menghitung kecepatan dan perpindahan dalam fisika
Menganalisis gaya dalam mekanika
Menentukan arah dan besar resultan dalam pergerakan objek
Navigasi dan penentuan posisi dalam sistem koordinat

Komponen vektor memisahkan besar dan arah pada sumbu yang dipilih. Komponen pada setiap sumbu dapat dihitung secara terpisah sebelum digabungkan kembali.