Penjumlahan Vektor

Arah Perpindahan Memengaruhi Hasil Penjumlahan

Penjumlahan vektor berbeda dengan penjumlahan skalar. Pada penjumlahan skalar, kita hanya menjumlahkan besaran tanpa memperhatikan arah. Contohnya, $2 \text{ kg}$ gula ditambah $3 \text{ kg}$ gula menghasilkan $5 \text{ kg}$ gula. Namun, pada penjumlahan vektor, kita harus memperhatikan besaran dan arah.

Misalnya, seseorang berjalan $2 \text{ m}$ ke timur kemudian $3 \text{ m}$ ke barat, hasilnya berbeda dengan berjalan $2 \text{ m}$ ke timur kemudian $3 \text{ m}$ ke timur lagi. Hasil penjumlahan vektor disebut sebagai resultan vektor.

Penjumlahan Vektor dengan Metode Segitiga

Pada metode segitiga, susun kedua vektor secara berurutan:

1. Gambar vektor pertama $\vec{a}$
2. Geser vektor kedua $\vec{b}$ secara sejajar hingga pangkalnya berada di ujung vektor pertama
3. Gambar resultan dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua

Secara matematis, jika $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{BC}$ adalah dua vektor, maka:

Penjumlahan vektor memenuhi sifat komutatif, yaitu:

Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajar Genjang

Caranya:

1. Gambar kedua vektor dengan pangkal berimpit
2. Buat jajar genjang dengan kedua vektor sebagai sisi
3. Resultan vektor adalah diagonal jajar genjang yang melalui titik pangkal kedua vektor

Penjumlahan vektor juga memenuhi sifat komutatif, sehingga urutan penjumlahan tidak memengaruhi vektor hasil.

Penjumlahan dengan Metode Poligon

Untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor, kita dapat menggunakan metode poligon. Prinsipnya adalah ujung vektor sebelumnya bertemu dengan pangkal vektor sesudahnya. Resultan vektor adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor terakhir.

Penjumlahan vektor dengan metode poligon juga memenuhi sifat asosiatif:

Untuk menjumlahkan tiga vektor dengan metode jajar genjang, kita dapat:

1. Jumlahkan dua vektor terlebih dahulu untuk mendapatkan resultan $R_1$
2. Jumlahkan $R_1$ dengan vektor ketiga untuk mendapatkan resultan akhir $R_2$

Untuk kedua diagram berikut, gunakan $A=(3,1,0)$, $B=(1,3,0)$, dan $C=(0,1,3)$. Resultan sementaranya adalah $B+C=(1,4,3)$ dan $A+B=(4,4,0)$. Kedua pengelompokan menghasilkan $A+B+C=(4,5,3)$.

Penjumlahan Vektor secara Komponen

Selain secara grafis, vektor juga dapat dijumlahkan secara komponen. Dalam sistem koordinat, setiap vektor dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya.

Jika $\vec{a} = (a_x, a_y)$ dan $\vec{b} = (b_x, b_y)$, maka:

Contoh:

Penjumlahan secara komponen dan secara grafis memberikan hasil yang sama.

Kecepatan Perahu di Sungai

Penjumlahan vektor dapat digunakan untuk menghitung kecepatan perahu yang menyeberangi sungai:

1. Jika kecepatan arus sungai nol, kecepatan perahu relatif terhadap tepi sungai sama dengan kecepatannya relatif terhadap air
2. Jika kecepatan arus sungai tak nol, kecepatan perahu relatif terhadap tepi sungai adalah jumlah vektor antara kecepatan perahu relatif terhadap air dan kecepatan arus. Arah, besar, atau keduanya dapat berubah, bergantung pada arah arus

Deretan vektor perpindahan pada suatu perjalanan juga dapat dijumlahkan. Resultannya menunjukkan perpindahan bersih. Panjang rute dan rute terpendek harus dihitung dari lintasan perjalanan.

Perbedaan Penjumlahan Skalar dan Vektor

Penjumlahan skalar dan penjumlahan vektor sama-sama menghasilkan satu jawaban untuk masukan yang tetap. Perbedaannya, skalar hanya memiliki besar, sedangkan vektor juga memiliki arah. Mengubah arah vektor berarti mengubah masukannya dan dapat mengubah resultan.

Contoh penjumlahan skalar:

Untuk gula, $3 \text{ kg} + 4 \text{ kg} = 7 \text{ kg}$.

Contoh penjumlahan vektor:

Untuk perpindahan searah, $3 \text{ m ke timur} + 4 \text{ m ke timur} = 7 \text{ m ke timur}$. Untuk arah berlawanan, $3 \text{ m ke timur} + 4 \text{ m ke barat} = 1 \text{ m ke barat}$.

Penjumlahan vektor digunakan untuk menghitung resultan perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya.