Vektor Kolom dan Vektor Baris

Susunan Komponen Vektor secara Vertikal dan Horizontal

Vektor memiliki besar dan arah. Dalam perhitungan koordinat, komponennya lazim disusun sebagai vektor kolom atau vektor baris. Vektor juga dapat ditampilkan dengan anak panah atau notasi lain yang setara.

Vektor kolom adalah vektor yang komponen-komponennya ditulis secara vertikal (ke bawah). Sedangkan vektor baris adalah vektor yang komponen-komponennya ditulis secara horizontal (ke samping).

Notasi Vektor Kolom dan Vektor Baris

Vektor kolom dan vektor baris memuat komponen yang sama dengan urutan yang sama, jadi keduanya hanya berbeda pada cara komponennya ditata. Tanda kurung biasa maupun kurung siku sama-sama dipakai.

Untuk vektor berdimensi dua:
- Vektor baris: $(3 \; 4)$ atau $[3 \; 4]$
- Vektor kolom:
  
  $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$
Untuk vektor berdimensi tiga:
- Vektor baris: $(2 \; 1 \; 3)$ atau $[2 \; 1 \; 3]$
- Vektor kolom:
  
  $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

Representasi Komponen yang Ekuivalen

Vektor dengan komponen yang sama dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk yang berguna:

Notasi dengan tanda kurung biasa:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
Notasi dengan tanda kurung siku:

$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$
Notasi dengan vektor satuan Kartesius:

$2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$

Ketiga bentuk tersebut menyatakan vektor yang sama. Dua bentuk pertama menampilkan komponennya sebagai kolom, sedangkan bentuk ketiga menyatakan komponen-komponen itu terhadap vektor satuan Kartesius. Arti garis tegak harus dibaca dari konteks: $\det A$ atau $|A|$ dapat menyatakan determinan matriks persegi, $|x|$ menyatakan nilai mutlak skalar, dan $\lVert \vec{v} \rVert$ menyatakan besar, atau norma, suatu vektor.

Vektor Satuan dalam Sistem Koordinat Kartesius

Setiap sumbu koordinat punya tepat satu vektor satuan, dan vektor satuan itulah yang memuat koordinat vektor lainnya.

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang $1 \text{ satuan}$ dengan arah tertentu. Dalam sistem koordinat Kartesius, kita mengenal beberapa vektor satuan:

Vektor Satuan dalam Sistem Koordinat Kartesius Dimensi Dua

Bidang datar punya dua arah dasar, dan panjang setiap vektor satuan satu. Tabel berikut menuliskan kedua vektor satuan sebagai vektor baris.

Arah	Vektor baris
horizontal, sepanjang sumbu $x$	$(1 \; 0)$
vertikal, sepanjang sumbu $y$	$(0 \; 1)$

Kedua vektor satuan yang sama, jika ditulis sebagai vektor kolom, menempatkan komponennya pada urutan yang sama:

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Matriks pertama adalah vektor satuan horizontal, dan matriks kedua adalah vektor satuan vertikal.

Vektor Satuan dalam Sistem Koordinat Kartesius Dimensi Tiga

Ruang menambahkan arah dasar ketiga. Ketiga vektor satuan mengarah sepanjang tiga sumbu, dan setiap vektor satuan panjangnya satu. Tabel berikut menuliskannya sebagai vektor baris.

Arah	Vektor baris
sepanjang sumbu $x$	$(1 \; 0 \; 0)$
sepanjang sumbu $y$	$(0 \; 1 \; 0)$
sepanjang sumbu $z$	$(0 \; 0 \; 1)$

Ketiga vektor satuan yang sama, jika ditulis sebagai vektor kolom, menempatkan komponennya pada urutan yang sama:

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Matriks pertama adalah vektor satuan sepanjang sumbu $x$ , matriks kedua sepanjang sumbu $y$ , dan matriks ketiga sepanjang sumbu $z$ .

Hubungan Vektor Kolom dan Vektor Baris

Vektor kolom dan vektor baris saling berhubungan melalui operasi transpos. Transpos adalah operasi mengubah baris menjadi kolom atau sebaliknya.

Jika $\vec{a} = (a_1 \; a_2 \; \ldots \; a_n)$ adalah vektor baris, maka transposnya adalah vektor kolom:

\vec{a}^T = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

Sebaliknya, perhatikan vektor kolom:

\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

Transposnya adalah vektor baris:

\vec{b}^T = (b_1 \; b_2 \; \ldots \; b_m)

Aplikasi Vektor Kolom dan Vektor Baris

Vektor kolom dan vektor baris memiliki bentuk yang berbeda dalam operasi seperti perkalian matriks. Gunakan bentuk yang konsisten agar dimensi matriksnya cocok.

Dalam komputasi, vektor kolom dan vektor baris digunakan untuk merepresentasikan data dan variabel dalam pemrograman numerik, pemrosesan gambar, kecerdasan buatan, dan banyak bidang lainnya.