Vektor Ekuivalen

Kesamaan Vektor meskipun Titik Pangkalnya Berbeda

Dua vektor disebut sama, atau direpresentasikan oleh ruas berarah yang ekuivalen, jika komponen-komponennya sama. Untuk vektor tak nol, syarat ini setara dengan besar yang sama dan arah yang sama. Bagi vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$, kita menulis $\vec{a} = \vec{b}$.

Vektor ekuivalen bisa memiliki posisi yang berbeda dalam bidang atau ruang, tetapi tetap memiliki besar dan arah yang sama.

Syarat Vektor Ekuivalen

Dua vektor baru bisa disebut ekuivalen jika kedua syarat terpenuhi sekaligus, jadi periksa keduanya lebih dahulu. Pasangan yang hanya memenuhi satu syarat belum ekuivalen.

Dua vektor tak nol $\overrightarrow{CD}$ dan $\overrightarrow{PQ}$ sama jika:

1. Panjang kedua vektor sama: $|\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{PQ}|$
2. Arah kedua vektor sama

Representasi Vektor Ekuivalen

Dua vektor ekuivalen memiliki panjang dan arah yang sama, sehingga salah satunya bisa menggantikan yang lain. Penggantian itu memindahkan vektor ke titik awal yang lebih praktis tanpa mengubah vektornya.

Dalam Bentuk Komponen

Pada bidang Kartesius dua dimensi, dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ekuivalen jika:

Kesamaan ini berlaku tepat ketika $a_1 = b_1$ dan $a_2 = b_2$.

Pada ruang tiga dimensi, vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ekuivalen jika:

Kesamaan ini berlaku tepat ketika $a_1 = b_1$, $a_2 = b_2$, dan $a_3 = b_3$.

Dalam Bentuk Titik Pangkal dan Ujung

Jika vektor $\overrightarrow{AB}$ memiliki titik pangkal $A(x_1, y_1)$ dan titik ujung $B(x_2, y_2)$, maka vektor dapat dinyatakan sebagai:

Dua vektor $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{CD}$ ekuivalen jika:

Pada persamaan tersebut, $C(x_3, y_3)$ adalah titik pangkal dan $D(x_4, y_4)$ adalah titik ujung vektor $\overrightarrow{CD}$.

Aturan yang Mengikuti Kesamaan Vektor

Setiap aturan mempertahankan titik ujung rantai dan menghapus satu vektor yang berulang, sehingga daftar yang panjang menyusut menjadi satu hubungan. Dengan begitu kamu bisa melewati vektor perantara tanpa mengubah pernyataannya.

Kesamaan vektor berperilaku seperti kesamaan bilangan. Tiga aturan berikut memendekkan rantai vektor yang ekuivalen.

Sifat Refleksif

Setiap vektor ekuivalen dengan dirinya sendiri.

Sifat Simetris

Jika vektor $\vec{a}$ ekuivalen dengan vektor $\vec{b}$, maka vektor $\vec{b}$ juga ekuivalen dengan vektor $\vec{a}$.

Sifat Transitif

Jika vektor $\vec{a}$ ekuivalen dengan vektor $\vec{b}$ dan vektor $\vec{b}$ ekuivalen dengan vektor $\vec{c}$, maka vektor $\vec{a}$ ekuivalen dengan vektor $\vec{c}$.

Memeriksa Vektor Ekuivalen dari Komponennya

Kedua selisih koordinat harus sama, karena satu koordinat yang berbeda sudah membuat kedua vektor tidak ekuivalen. Contoh di bawah membandingkan selisih itu satu per satu.

Dua vektor ekuivalen ketika perubahan koordinat pertama sama dan perubahan koordinat kedua juga sama. Contoh di bawah membandingkan kedua perubahan itu.

Kesamaan dari Perubahan Komponen yang Sama

Vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $A(2, 3)$ dan $B(5, 7)$ ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow{CD}$ dengan $C(1, 1)$ dan $D(4, 5)$.

Pembuktian:

Karena $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = (3, 4)$, maka vektor $\overrightarrow{AB}$ ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow{CD}$.

Vektor Ekuivalen dengan Titik Pangkal Berbeda

Vektor $\overrightarrow{PQ}$ dengan $P(0, 0)$ dan $Q(2, 2)$ ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow{RS}$ dengan $R(3, 1)$ dan $S(5, 3)$.

Pembuktian:

Karena $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS} = (2, 2)$, maka vektor $\overrightarrow{PQ}$ ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow{RS}$.

Alasan Titik Awal Dapat Berbeda

Vektor ekuivalen memiliki besar dan arah yang sama meskipun titik awalnya berbeda. Karena itu, perpindahan yang sama dapat digambar di posisi berbeda dengan besar dan arah yang tetap sama. Sifat ini berguna saat membandingkan translasi atau memindahkan vektor dalam konstruksi geometri.