Konsep Eksponen

Dari Kertas hingga Pandemi

Pernahkah kamu membayangkan melipat selembar kertas sebanyak 42 kali? Jika mungkin dilakukan, ketebalannya akan melebihi jarak bumi ke bulan! Ini karena setiap lipatan menghasilkan penggandaan ketebalan kertas—inilah yang disebut pertumbuhan eksponensial.

Pertumbuhan eksponensial terjadi ketika sesuatu bertambah dengan faktor pengali tetap dalam setiap interval waktu. Pada awal 2020, dunia mengalami contoh nyata pertumbuhan eksponensial melalui penyebaran virus COVID-19. Satu orang terinfeksi dapat menularkan ke dua orang, kemudian empat, delapan, dan seterusnya.

Definisi Eksponen

Eksponen adalah cara singkat untuk menuliskan perkalian berulang. Bayangkan kamu sedang menghitung berapa banyak orang yang tertular virus dalam kasus seperti COVID-19. Pada setiap fase penularan, jumlah orang yang tertular akan bertambah dengan pola yang menarik:

1 = 2^0 \quad 2 = 2^1 \quad 4 = 2 \times 2 = 2^2 \quad 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \quad 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4

Pola ini terus berlanjut, sehingga pada fase ke- $n$ , jumlah orang yang tertular dapat dinyatakan sebagai $m(n) = 2^n$ .

Misalnya, jika kamu ingin tahu berapa banyak orang yang tertular pada fase ke-5, kamu tinggal menghitung:

$m(5) = 2^5 = 32$ orang.

Makna Simbol Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat seperti $a^n$ memiliki dua komponen penting:

a^n

Dengan:

$a$ adalah bilangan pokok - bilangan yang akan dikalikan berulang kali
$n$ adalah pangkat - menunjukkan berapa kali bilangan pokok dikalikan dengan dirinya sendiri

Secara umum, jika $a$ adalah bilangan real dan $n$ adalah bilangan bulat positif, maka:

a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ faktor}}

Definisi Penting dalam Eksponen

Berikut adalah beberapa definisi penting yang perlu kamu ketahui:

Pangkat Nol

Untuk setiap bilangan real $a$ dengan $a \neq 0$ :

a^0 = 1

Ini mungkin terlihat aneh pada awalnya, tapi definisi ini menjaga konsistensi sifat-sifat eksponen.

Pangkat Negatif

Untuk setiap bilangan real $a$ dengan $a \neq 0$ dan bilangan bulat positif $n$ :

a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n = \frac{1}{a^n}

Ini berarti pangkat negatif sama dengan satu dibagi bilangan pokok dengan pangkat yang sama (positif). Rumus ini diperoleh dari konsistensi sifat eksponen. Untuk menggunakan rumus ini, kamu cukup membalik bilangan pokok dan mengubah tanda pangkat. Contoh: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} = 0,111...$

Pangkat Pecahan

Jika $a$ adalah bilangan real dengan $a \neq 0$ dan $n$ bilangan bulat positif, maka:

a^{\frac{1}{n}} = p

dimana $p$ adalah bilangan real positif sedemikian sehingga $p^n = a$ .

Bilangan $a^{\frac{1}{n}}$ juga sering disebut sebagai akar pangkat- $n$ dari $a$ . Rumus ini muncul sebagai kebalikan dari pemangkatan. Untuk menggunakannya, kamu perlu menemukan bilangan yang jika dipangkatkan sebanyak n kali akan menghasilkan a. Contoh: $16^{\frac{1}{4}} = 2$ karena $2^4 = 16$ .

Pangkat Pecahan Campuran

Jika $a$ adalah bilangan real dengan $a \neq 0$ dan $m,n$ bilangan bulat positif, maka:

a^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m

Rumus ini diperoleh dengan mengkombinasikan konsep akar dan pemangkatan. Untuk menghitungnya, kamu harus mencari akar pangkat-n dari a terlebih dahulu, kemudian memangkatkannya dengan m. Contoh: $8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$ .

Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki bentuk $f(x) = a^x$ dimana $a > 0$ dan $a \neq 1$ . Ada dua kasus menarik:

Jika $a > 1$ , fungsi akan naik (pertumbuhan)
Jika $0 < a < 1$ , fungsi akan turun (peluruhan)

Fungsi eksponensial sangat berguna dalam kehidupan nyata karena banyak fenomena alam yang mengikuti pola pertumbuhan atau peluruhan eksponensial.

Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

Pertumbuhan Bakteri

Satu bakteri dapat membelah menjadi dua, kemudian empat, delapan, dan seterusnya. Jika $B_0$ adalah jumlah bakteri awal dan setiap bakteri membelah setiap jam, maka jumlah bakteri setelah $t$ jam adalah:

B(t) = B_0 \times 2^t

Rumus ini diperoleh karena populasi bakteri menjadi dua kali lipat pada setiap interval waktu. Angka 2 mewakili faktor pertumbuhan. Untuk menggunakannya, kalikan jumlah awal dengan 2 pangkat jumlah interval yang telah berlalu. Contoh: jika awalnya ada 100 bakteri dan mereka membelah setiap 30 menit, setelah 2 jam (4 interval) akan ada $100 \times 2^4 = 100 \times 16 = 1.600$ bakteri.

Pertumbuhan Bakteri

1 Bakteri

Penyebaran Virus

Pola penyebaran virus seperti COVID-19 juga sering mengikuti model eksponensial, terutama pada fase awal. Jika satu orang dapat menularkan virus ke rata-rata $R$ orang baru (angka reproduksi), jumlah kasus setelah $n$ siklus penularan bisa diperkirakan dengan:

C(n) = C_0 \times R^n

dimana $C_0$ adalah jumlah kasus awal.

Rumus ini mirip dengan pertumbuhan bakteri, tetapi dengan faktor pengali $R$ yang bisa bervariasi. Rumus ini diperoleh dengan mengalikan jumlah kasus dengan $R$ pada setiap siklus penularan. Untuk menggunakannya, kalikan jumlah kasus awal dengan $R$ pangkat jumlah siklus yang telah berlalu. Contoh: jika $R = 2,5$ dan ada 10 kasus awal, setelah 3 siklus penularan akan ada $10 \times 2,5^3 = 10 \times 15,625 = 156,25 \approx 156$ kasus.

Pertumbuhan Populasi

Untuk memprediksi jumlah penduduk di masa depan, model eksponensial dapat digunakan dengan rumus:

P(t) = P_0 \times (1 + r)^t

dimana $P_0$ adalah populasi awal, $r$ adalah tingkat pertumbuhan, dan $t$ adalah waktu (biasanya dalam tahun).

Rumus ini diperoleh dengan menambahkan persentase pertumbuhan $r$ ke populasi pada setiap interval waktu. Faktor $(1+r)$ menunjukkan pertumbuhan relatif. Untuk menggunakannya, kalikan populasi awal dengan $(1+r)$ pangkat jumlah interval waktu. Contoh: jika populasi awal adalah 1 juta orang dengan pertumbuhan 2% per tahun, setelah 10 tahun populasinya menjadi $1.000.000 \times (1 + 0,02)^{10} = 1.000.000 \times 1,22 = 1.220.000$ orang.

Command Palette