Sifat Logaritma

Sifat Dasar Logaritma

Seperti halnya eksponen, logaritma juga memiliki beberapa sifat penting yang perlu dipahami. Sifat-sifat ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai persoalan logaritma.

Misalkan $a > 0$ dan $a \neq 1$, $b > 0$, $c > 0$, $m > 0$, $m \neq 1$, di mana $a, b, c, m, n$ adalah bilangan real $(a, b, c, m, n \in \mathbb{R})$. Berikut adalah sifat-sifat logaritma:

1. $^a\log a = 1$
2. $^a\log 1 = 0$
3. $^a\log a^n = n$
4. $^a\log (b \times c) = ^a\log b + ^a\log c$
5. $^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log b - ^a\log c$
6. $^a\log b^n = n \cdot ^a\log b$
7. $^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a} = \frac{1}{^b\log a}$
8. $^a\log b \times ^b\log c = ^a\log c$

Pembuktian Sifat Logaritma

Logaritma Perkalian

Sifat 4: $^a\log (b \times c) = ^a\log b + ^a\log c$

Bukti: Misalkan $^a\log b = m$ dan $^a\log c = n$

Ini berarti:

$b = a^m$ dan $c = a^n$

Menggunakan sifat eksponen:

Dengan demikian:

Logaritma Pembagian

Sifat 5: $^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log b - ^a\log c$

Bukti: Misalkan $^a\log b = m$ dan $^a\log c = n$

Maka $b = a^m$ dan $c = a^n$

Ingat bahwa $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, sehingga:

Oleh karena itu:

Logaritma Pangkat

Sifat 6: $^a\log b^n = n \cdot ^a\log b$

Bukti: Misalkan $^a\log b = m$

$^a\log b^n$ artinya logaritma dari $b$ pangkat $n$

Menggunakan sifat 4 berulang kali:

Perubahan Basis Logaritma

Sifat 7: $^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a} = \frac{1}{^b\log a}$

Bukti: Berdasarkan definisi logaritma, $^a\log b = c$ jika dan hanya jika $b = a^c$

Misalkan kita menggunakan basis $m$ untuk logaritma $b$:

Menggunakan sifat 6:

Karena $c = ^a\log b$, maka:

Sehingga:

Jika $m = b$, maka:

Logaritma Berantai

Sifat 8: $^a\log b \times ^b\log c = ^a\log c$

Bukti: Berdasarkan definisi:

Substitusi nilai $b$ ke persamaan $c$:

Karena $c = a^{mn}$, maka:

Contoh Penerapan

Misalkan kita ingin menghitung $^5\log 125$.

Menggunakan sifat 6:

Latihan

1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini.

   a. $^9\log 81$

   b. $^2\log 64 - ^2\log 16$

   c. $^4\log 16^{10}$

2. Jika $^5\log 4 = m$, $^4\log 3 = n$, nyatakan $^{12}\log 100$ dalam $m$ dan $n$.

3. Penduduk kota $A$ pada tahun 2010 sebanyak $300.000 \text{ jiwa}$. Pertumbuhan penduduk kota $A$ rata-rata per tahun adalah $6\%$. Jika diasumsikan pertumbuhan penduduk setiap tahun sama, dalam berapa tahun penduduk kota $A$ menjadi $1 \text{ juta jiwa}$?

4. Berapa waktu yang dibutuhkan sehingga uang Dini yang tadinya $\text{Rp}2.000.000,00$ dapat menjadi $\text{Rp}6.500.000,00$ jika dia menabung di suatu bank yang memberinya bunga sebesar $12\%$?

Kunci Jawaban

1. Menentukan nilai logaritma

   a. Jawaban:

   $$^9\log 81 = ^9\log 9^2$$

   $$^9\log 81 = 2 \cdot ^9\log 9$$

   $$^9\log 81 = 2 \cdot 1 = 2$$

   b. Jawaban:

   $$^2\log 64 - ^2\log 16 = ^2\log \frac{64}{16}$$

   $$^2\log 64 - ^2\log 16 = ^2\log 4$$

   $$^2\log 64 - ^2\log 16 = 2$$

   c. Jawaban:

   $$^4\log 16^{10} = ^4\log (4^2)^{10}$$

   $$^4\log 16^{10} = ^4\log 4^{20}$$

   $$^4\log 16^{10} = 20$$

2. Dinyatakan bahwa $^5\log 4 = m$, $^4\log 3 = n$

   Maka:

   $$^{12}\log 100 = \frac{^4\log 100}{^4\log 12}$$

   $$= \frac{^4\log(4 \times 25)}{^4\log(4 \times 3)}$$

   $$= \frac{^4\log 4 + ^4\log 25}{^4\log 4 + ^4\log 3}$$

   $$= \frac{^4\log 4 + 2 \cdot ^4\log 5}{^4\log 4 + ^4\log 3}$$

   $$= \frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{m}}{1 + n}$$

   $$= \frac{1 + \frac{2}{m}}{1 + n}$$

3. Jumlah penduduk awal adalah $300.000 \text{ jiwa}$

   Pertumbuhan penduduk per tahun $6\%$.

   Fungsi yang tepat untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk dalam $x \text{ tahun}$ adalah:

   $$f(x) = 300.000(1 + 0,06)^x$$

   Untuk jumlah penduduk $1.000.000 \text{ jiwa}$:

   $$1.000.000 = 300.000(1 + 0,06)^x$$

   $$1.000.000 = 300.000(1,06)^x$$

   $$\frac{1.000.000}{300.000} = (1,06)^x$$

   $$3,33 = (1,06)^x$$

   $$x = ^{1,06}\log 3,33$$

   $$x = 20,645$$

   Jadi penduduk akan mencapai $1.000.000 \text{ jiwa}$ dalam waktu $20$ atau $21 \text{ tahun}$.

4. Tabungan awal adalah $\text{Rp}2.000.000,00$

   Tabungan akhir adalah $\text{Rp}6.500.000,00$

   Bunga adalah $12\%$

   Fungsi yang tepat untuk menggambarkan tabungan Dini dalam $x \text{ tahun}$ adalah:

   $$f(x) = 2.000.000(1 + 0,12)^x$$

   Untuk tabungan akhir sebesar $\text{Rp}6.500.000,00$:

   $$6.500.000 = 2.000.000(1 + 0,12)^x$$

   $$6.500.000 = 2.000.000(1,12)^x$$

   $$\frac{6.500.000}{2.000.000} = (1,12)^x$$

   $$3,25 = (1,12)^x$$

   $$x = ^{1,12}\log 3,25$$

   $$x = 10,4$$

   Jadi, tabungan Dini akan mencapai $\text{Rp}6.500.000,00$ dalam waktu $10 \text{ tahun}$.