Barisan Aritmetika

Pengertian Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan di mana selisih atau beda antara dua suku berurutan selalu tetap atau konstan. Beda pada barisan aritmetika dilambangkan dengan $b$.

Contoh Barisan Aritmetika

Perhatikan barisan bilangan berikut:

Pada barisan ini, kita dapat melihat bahwa:

• Selisih antara suku kedua dan pertama: $6 - 4 = 2$
• Selisih antara suku ketiga dan kedua: $8 - 6 = 2$
• Selisih antara suku keempat dan ketiga: $10 - 8 = 2$

Karena selisih antara dua suku berurutan selalu sama yaitu $2$, maka barisan ini merupakan barisan aritmetika dengan beda $b = 2$.

Beda pada Barisan Aritmetika

Beda ($b$) pada barisan aritmetika dapat dihitung dengan mengurangkan dua suku berurutan:

Di mana:

• $U_n$ menyatakan suku ke- $n$
• $U_{n-1}$ menyatakan suku ke-( $n-1$)

Rumus Suku Umum

Rumus Umum

Untuk menentukan suku ke-$n$ pada barisan aritmetika, kita dapat menggunakan rumus:

Keterangan:

• $U_n$ = suku ke- $n$
• $a$ = suku pertama
• $n$ = nomor suku
• $b$ = beda

Cara Menurunkan Rumus

Jika kita menulis beberapa suku pertama dari barisan aritmetika:

• Suku ke-$1$: $U_1 = a$
• Suku ke-$2$: $U_2 = a + b$
• Suku ke-$3$: $U_3 = a + 2b$
• Suku ke-$4$: $U_4 = a + 3b$
• Suku ke-$5$: $U_5 = a + 4b$

Dari pola tersebut, kita dapat melihat bahwa suku ke-$n$ adalah:

Aplikasi Barisan Aritmetika

Gedung Pertunjukan Seni

Perhatikan jumlah kursi pada gedung pertunjukan seni berikut:

• Baris ke-$1$ memiliki $20$ kursi.
• Baris ke-$2$ memiliki $24$ kursi.
• Baris ke-$3$ memiliki $28$ kursi.
• Baris ke-$4$ memiliki $32$ kursi.
• Baris ke-$5$ memiliki $36$ kursi.

Untuk menentukan banyak kursi pada baris tertentu, kita perlu mencari pola dari data tersebut.

Langkah $1$: Mencari beda antar baris

• $\text{Baris ke-}2 - \text{Baris ke-}1$: $24 - 20 = 4$
• $\text{Baris ke-}3 - \text{Baris ke-}2$: $28 - 24 = 4$
• $\text{Baris ke-}4 - \text{Baris ke-}3$: $32 - 28 = 4$
• $\text{Baris ke-}5 - \text{Baris ke-}4$: $36 - 32 = 4$

Terlihat bahwa beda antara jumlah kursi pada baris yang berurutan adalah $4$. Ini berarti jumlah kursi di gedung pertunjukan ini membentuk barisan aritmetika dengan:

• Suku pertama $a = 20$
• Beda $b = 4$

Langkah $2$: Menggunakan rumus untuk mencari jumlah kursi pada baris ke-$15$

Jadi, jumlah kursi pada baris ke-$15$ adalah $76$ kursi.

Latihan Pertama

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-$3$ sama dengan $9$ dan suku ke-$6$ sama dengan $18$. Tentukan rumus suku ke-$n$.

Kunci Jawaban Latihan Pertama

Untuk menentukan rumus suku umum, kita perlu mencari nilai suku pertama $(a)$ dan beda $(b)$.

Kita eliminasi persamaan di atas untuk mendapatkan nilai $b$:

Setelah mendapatkan nilai $b$, kita substitusikan ke persamaan pertama untuk mendapatkan nilai $a$:

Setelah mendapatkan nilai $a = 3$ dan $b = 3$, kita bisa merumuskan suku ke-$n$:

Jadi, rumus suku umum dari barisan tersebut adalah $U_n = 3n$

Latihan Kedua

Rudi menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal uang yang ditabung antarbulan tetap. Jika pada bulan ke-$5$, nominal uang yang ditabung $\text{Rp}70.000{,}00$ dan pada bulan ke-$9$ Rudi menabung sebesar $\text{Rp}90.000{,}00$.

a. Berapa rupiah selisih nominal uang yang ditabung antarbulan?

b. Tentukan berapa rupiah uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya?

Kunci Jawaban Latihan Kedua

Tabungan Rudi membentuk barisan aritmetika karena selisih kenaikan nominal antarbulan tetap.

a. Mencari selisih nominal uang yang ditabung antarbulan

Eliminasi persamaan $1$ dan $2$:

Jadi, selisih nominal uang yang ditabung Rudi antarbulan adalah $\text{Rp}5.000{,}00$.

b. Mencari uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya

Kita sudah mendapatkan nilai $b = 5.000$, selanjutnya kita substitusikan ke persamaan $(1)$ untuk mendapatkan nilai $a$:

Jadi, uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya adalah $\text{Rp}50.000{,}00$.