Barisan Aritmetika

Pengertian Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan di mana selisih atau beda antara dua suku berurutan selalu tetap atau konstan. Beda pada barisan aritmetika dilambangkan dengan $b$.

Contoh Barisan Aritmetika

Perhatikan barisan bilangan berikut:

Pada barisan ini, kita dapat melihat bahwa:

• Selisih antara suku kedua dan pertama: $6 - 4 = 2$
• Selisih antara suku ketiga dan kedua: $8 - 6 = 2$
• Selisih antara suku keempat dan ketiga: $10 - 8 = 2$

Karena selisih antara dua suku berurutan selalu sama yaitu 2, maka barisan ini merupakan barisan aritmetika dengan beda $b = 2$.

Beda pada Barisan Aritmetika

Beda ($b$) pada barisan aritmetika dapat dihitung dengan mengurangkan dua suku berurutan:

Di mana:

• $U_n$ menyatakan suku ke- $n$
• $U_{n-1}$ menyatakan suku ke-( $n-1$)

Rumus Suku Umum

Rumus Umum

Untuk menentukan suku ke-$n$ pada barisan aritmetika, kita dapat menggunakan rumus:

Keterangan:

• $U_n$ = suku ke- $n$
• $a$ = suku pertama
• $n$ = nomor suku
• $b$ = beda

Cara Menurunkan Rumus

Jika kita menulis beberapa suku pertama dari barisan aritmetika:

• Suku ke-$1$: $U_1 = a$
• Suku ke-$2$: $U_2 = a + b$
• Suku ke-$3$: $U_3 = a + 2b$
• Suku ke-$4$: $U_4 = a + 3b$
• Suku ke-$5$: $U_5 = a + 4b$

Dari pola tersebut, kita dapat melihat bahwa suku ke-$n$ adalah:

Aplikasi Barisan Aritmetika

Gedung Pertunjukan Seni

Perhatikan jumlah kursi pada gedung pertunjukan seni berikut:

• Baris ke-$1$ memiliki $20$ kursi.
• Baris ke-$2$ memiliki $24$ kursi.
• Baris ke-$3$ memiliki $28$ kursi.
• Baris ke-$4$ memiliki $32$ kursi.
• Baris ke-$5$ memiliki $36$ kursi.

Untuk menentukan banyak kursi pada baris tertentu, kita perlu mencari pola dari data tersebut.

Langkah 1: Mencari beda antar baris

• Baris ke-$2$ - Baris ke-$1$: $24 - 20 = 4$
• Baris ke-$3$ - Baris ke-$2$: $28 - 24 = 4$
• Baris ke-$4$ - Baris ke-$3$: $32 - 28 = 4$
• Baris ke-$5$ - Baris ke-$4$: $36 - 32 = 4$

Terlihat bahwa beda antara jumlah kursi pada baris yang berurutan adalah $4$. Ini berarti jumlah kursi di gedung pertunjukan ini membentuk barisan aritmetika dengan:

• Suku pertama $a = 20$
• Beda $b = 4$

Langkah 2: Menggunakan rumus untuk mencari jumlah kursi pada baris ke-$15$

Jadi, jumlah kursi pada baris ke-$15$ adalah $76$ kursi.

Latihan 1

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-$3$ sama dengan $9$ dan suku ke-$6$ sama dengan $18$. Tentukan rumus suku ke-$n$.

Kunci Jawaban Latihan 1

Untuk menentukan rumus suku umum, kita perlu mencari nilai suku pertama $(a)$ dan beda $(b)$.

Kita eliminasi persamaan di atas untuk mendapatkan nilai $b$:

Setelah mendapatkan nilai $b$, kita substitusikan ke persamaan pertama untuk mendapatkan nilai $a$:

Setelah mendapatkan nilai $a = 3$ dan $b = 3$, kita bisa merumuskan suku ke-$n$:

Jadi, rumus suku umum dari barisan tersebut adalah $U_n = 3n$

Latihan 2

Rudi menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal uang yang ditabung antarbulan tetap. Jika pada bulan ke-$5$, nominal uang yang ditabung $\text{Rp}70.000,00$ dan pada bulan ke-$9$ Rudi menabung sebesar $\text{Rp}90.000,00$.

a. Berapa rupiah selisih nominal uang yang ditabung antarbulan?

b. Tentukan berapa rupiah uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya?

Kunci Jawaban Latihan 2

Tabungan Rudi membentuk barisan aritmetika karena selisih kenaikan nominal antarbulan tetap.

a. Mencari selisih nominal uang yang ditabung antarbulan

Eliminasi persamaan 1 dan 2:

Jadi, selisih nominal uang yang ditabung Rudi antarbulan adalah $\text{Rp}5.000,00$.

b. Mencari uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya

Kita sudah mendapatkan nilai $b = 5.000$, selanjutnya kita substitusikan ke persamaan $(1)$ untuk mendapatkan nilai $a$:

Jadi, uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya adalah $\text{Rp}50.000,00$.