Lingkaran dan Tali Busur

Pengertian Tali Busur

Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Berbeda dengan diameter yang melewati pusat lingkaran, tali busur dapat berada di posisi mana saja asalkan kedua ujungnya terletak pada lingkaran.

Pada gambar di atas, $AB$, $CD$, dan $EF$ adalah tali busur dengan panjang yang berbeda-beda.

Sifat-Sifat Tali Busur

Tali Busur Sama Panjang

Dua tali busur yang sama panjang memiliki jarak yang sama dari pusat lingkaran.

Jika $PQ = RS$, maka jarak dari pusat $O$ ke tali busur $PQ$ sama dengan jarak dari $O$ ke tali busur $RS$, yaitu $d_1 = d_2$.

Garis dari Pusat Tegak Lurus Tali Busur

Garis yang ditarik dari pusat lingkaran tegak lurus terhadap tali busur akan membagi tali busur tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang.

Pada gambar di atas, $OM \perp AB$ dan $M$ adalah titik tengah tali busur $AB$, sehingga $AM = MB$.

Panjang Tali Busur

Rumus Panjang Tali Busur

Untuk menghitung panjang tali busur, kita dapat menggunakan rumus:

Di mana:

• $r$ = jari-jari lingkaran
• $\theta$ = sudut pusat yang menghadap tali busur (dalam radian)

Hubungan antara sudut pusat dan panjang tali busur dapat kita visualisasikan sebagai berikut:

Jarak Tali Busur dari Pusat

Jarak tali busur dari pusat lingkaran dapat dihitung dengan rumus:

Atau jika diketahui panjang tali busur $l$:

Teorema Perpotongan Tali Busur

Jika dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka hasil kali segmen-segmen dari satu tali busur sama dengan hasil kali segmen-segmen dari tali busur lainnya.

Pada gambar di atas berlaku: $PA \times PB = PC \times PD$

Sudut Keliling yang Menghadap Tali Busur Sama

Sudut-sudut keliling yang menghadap tali busur yang sama memiliki besar yang sama.

Pada gambar di atas, $\angle ACB = \angle ADB$ karena keduanya menghadap tali busur $AB$ yang sama.

Apotema

Apotema adalah jarak terpendek dari pusat lingkaran ke tali busur, yaitu garis yang tegak lurus dari pusat ke tali busur.

Panjang apotema dapat dihitung dengan rumus:

Di mana:

• $a$ = panjang apotema
• $r$ = jari-jari lingkaran
• $l$ = panjang tali busur
• $\theta$ = sudut pusat

Tali Busur Sejajar

Dua tali busur yang sejajar dalam lingkaran memiliki sifat khusus.

Jika $AB \parallel CD$, maka busur $AC$ sama panjang dengan busur $BD$.

Latihan Soal

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Jika sudut pusat yang menghadap tali busur adalah 60°, tentukan:

   • Panjang tali busur
   • Jarak tali busur dari pusat lingkaran

2. Dua tali busur $AB$ dan $CD$ berpotongan di titik $P$ di dalam lingkaran. Jika $PA = 4$ cm, $PB = 6$ cm, dan $PC = 3$ cm, tentukan panjang $PD$.

3. Dalam lingkaran berjari-jari 13 cm, terdapat tali busur sepanjang 24 cm. Hitunglah jarak tali busur tersebut dari pusat lingkaran.

4. Dua tali busur sejajar dalam lingkaran masing-masing berjarak 3 cm dan 4 cm dari pusat lingkaran. Jika jari-jari lingkaran 5 cm, tentukan panjang kedua tali busur tersebut.

5. Buktikan bahwa tali busur terpanjang dalam lingkaran adalah diameter.

Kunci Jawaban

1. Menghitung panjang tali busur dan jaraknya dari pusat

   Diketahui: $r = 10$ cm, $\theta = 60° = \frac{\pi}{3}$ rad

   $$l = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \times 10 \times \sin\left(\frac{\pi/3}{2}\right)$$

   $$l = 20 \times \sin(30°) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}$$

   $$d = r \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 10 \times \cos(30°)$$

   $$d = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$$

2. Teorema perpotongan tali busur

   Diketahui: $PA = 4$ cm, $PB = 6$ cm, $PC = 3$ cm

   $$PA \times PB = PC \times PD$$

   $$4 \times 6 = 3 \times PD$$

   $$24 = 3 \times PD$$

   $$PD = 8 \text{ cm}$$

3. Menghitung jarak tali busur dari pusat

   Diketahui: $r = 13$ cm, $l = 24$ cm

   $$d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}$$

   $$d = \sqrt{13^2 - 12^2}$$

   $$d = \sqrt{169 - 144}$$

   $$d = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

4. Tali busur sejajar

   Diketahui: $r = 5$ cm, $d_1 = 3$ cm, $d_2 = 4$ cm

   Untuk tali busur pertama:

   $$l_1 = 2\sqrt{r^2 - d_1^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 8 \text{ cm}$$

   Untuk tali busur kedua:

   $$l_2 = 2\sqrt{r^2 - d_2^2} = 2\sqrt{25 - 16} = 2\sqrt{9} = 6 \text{ cm}$$

5. Bukti diameter adalah tali busur terpanjang

   Untuk sebarang tali busur dengan sudut pusat $\theta$:

   $$l = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

   Nilai maksimum $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1$ tercapai ketika $\frac{\theta}{2} = 90°$, yaitu $\theta = 180°$.

   Saat $\theta = 180°$, tali busur melewati pusat lingkaran (diameter) dengan panjang:

   $$l_{max} = 2r \times 1 = 2r$$

   Terbukti bahwa diameter adalah tali busur terpanjang.