Busur

Pengertian Busur Lingkaran

Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran tersebut. Bayangkan seperti potongan tali yang melengkung mengikuti bentuk lingkaran. Ketika kita memiliki sebuah lingkaran dan menandai dua titik di atasnya, maka bagian keliling yang menghubungkan kedua titik tersebut disebut busur.

Setiap busur memiliki dua ujung yang terletak pada lingkaran, dan panjang busur bergantung pada besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut. Semakin besar sudut pusatnya, semakin panjang busurnya.

Jenis Busur Berdasarkan Ukuran

Berdasarkan besar sudut pusat yang menghadapnya, busur lingkaran dapat dibedakan menjadi beberapa jenis:

1. Busur Kecil adalah busur yang sudut pusatnya kurang dari $180^\circ$. Busur ini merupakan bagian yang lebih pendek dari dua kemungkinan busur yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

2. Busur Besar adalah busur yang sudut pusatnya lebih dari $180^\circ$. Busur ini merupakan bagian yang lebih panjang dari dua kemungkinan busur yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

3. Busur Setengah Lingkaran adalah busur yang sudut pusatnya tepat $180^\circ$. Busur ini membagi lingkaran menjadi dua bagian yang sama besar.

Rumus Panjang Busur

Panjang busur dapat dihitung menggunakan perbandingan antara sudut pusat dengan sudut penuh lingkaran. Karena keliling penuh lingkaran adalah $2\pi r$, maka panjang busur dapat dinyatakan sebagai:

dimana:

• $\alpha$ adalah besar sudut pusat dalam derajat
• $r$ adalah jari-jari lingkaran

Jika sudut pusat dinyatakan dalam radian, rumusnya menjadi lebih sederhana:

dimana $\alpha$ adalah besar sudut pusat dalam radian.

Hubungan Busur dengan Sudut Pusat

Terdapat hubungan yang sangat erat antara panjang busur dengan besar sudut pusat yang menghadapnya. Hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan:

Perbandingan ini berlaku untuk busur-busur pada lingkaran yang sama. Artinya, jika sudut pusat suatu busur dua kali lipat dari sudut pusat busur lain, maka panjang busur tersebut juga akan dua kali lipat.

Konsep ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang melibatkan busur lingkaran, terutama ketika kita perlu mencari panjang busur tanpa mengetahui jari-jari lingkaran secara langsung.

Latihan

1. Sebuah busur lingkaran memiliki jari-jari $14 \text{ cm}$ dan besar sudut pusatnya adalah $90^\circ$. Tentukan panjang busur tersebut.

2. Diketahui panjang busur $AB$ adalah $22 \text{ cm}$ dan besar sudut $AOB$ sebesar $120^\circ$, dimana O adalah pusat lingkaran. Berapakah panjang jari-jari lingkarannya?

3. Pada sebuah lingkaran dengan jari-jari $21 \text{ cm}$, terdapat dua busur. Busur pertama memiliki sudut pusat $60^\circ$ dan busur kedua memiliki sudut pusat $150^\circ$. Tentukan perbandingan panjang kedua busur tersebut.

4. Sebuah busur lingkaran memiliki panjang $15{,}7 \text{ cm}$. Jika jari-jari lingkaran adalah $10 \text{ cm}$, tentukan besar sudut pusat busur tersebut dalam derajat.

5. Diketahui keliling sebuah lingkaran adalah $88 \text{ cm}$. Jika sebuah busur pada lingkaran tersebut memiliki sudut pusat $45^\circ$, tentukan panjang busur tersebut.

Kunci Jawaban

1. Jawaban: $22 \text{ cm}$

   Diketahui: $r = 14 \text{ cm}$, $\alpha = 90^\circ$

   Menggunakan rumus panjang busur:

   $$\text{Panjang busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   $$= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14$$

   $$= \frac{1}{4} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14$$

   $$= \frac{1}{4} \times 88 = 22 \text{ cm}$$

2. Jawaban: $10{,}5 \text{ cm}$

   Diketahui: Panjang busur $AB = 22 \text{ cm}$, $\alpha = 120^\circ$

   Menggunakan rumus panjang busur:

   $$22 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   $$22 = \frac{1}{3} \times 2 \times \frac{22}{7} \times r$$

   $$22 = \frac{44r}{21}$$

   $$r = \frac{22 \times 21}{44} = \frac{462}{44} = 10{,}5 \text{ cm}$$

3. Jawaban: $2:5$

   Diketahui: $r = 21 \text{ cm}$, $\alpha_1 = 60^\circ$, $\alpha_2 = 150^\circ$

   Karena pada lingkaran yang sama, perbandingan panjang busur sama dengan perbandingan sudut pusatnya:

   $$\frac{\text{Panjang busur}_1}{\text{Panjang busur}_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{60^\circ}{150^\circ} = \frac{2}{5}$$

   Jadi perbandingan panjang kedua busur adalah $2:5$.

4. Jawaban: $90^\circ$

   Diketahui: panjang busur = $15{,}7 \text{ cm}$, $r = 10 \text{ cm}$

   Menggunakan rumus panjang busur:

   $$15{,}7 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi \times 10$$

   $$15{,}7 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \times 3{,}14 \times 10$$

   $$15{,}7 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 62{,}8$$

   $$\alpha = \frac{15{,}7 \times 360^\circ}{62{,}8} = \frac{5652^\circ}{62{,}8} = 90^\circ$$

5. Jawaban: $11 \text{ cm}$

   Diketahui: Keliling = $88 \text{ cm}$, $\alpha = 45^\circ$

   Menggunakan konsep perbandingan:

   $$\text{Panjang busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Keliling}$$

   $$= \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 88$$

   $$= \frac{1}{8} \times 88 = 11 \text{ cm}$$