Perhitungan Semua Nilai Eigen

Metode QR untuk Semua Nilai Eigen

Dengan menggunakan metode QR, kamu dapat menghitung seluruh nilai eigen dari matriks $A$. Proses ini dilakukan melalui iterasi yang mengubah bentuk matriks secara bertahap, seperti mengasah pisau berulang kali sampai tajam. Setiap putaran iterasi membuat matriks semakin mendekati bentuk yang memudahkan kita membaca nilai eigennya.

Algoritma QR

1. Langkah awal adalah menetapkan $A_0 := A$ dan $k := 0$

2. Proses iterasi yang diulang terus menerus. Pada setiap putaran, lakukan dekomposisi QR terhadap matriks $A_k$

   $$Q_k \cdot R_k = A_k$$

   Setelah itu, susun matriks baru dengan mengalikan $R_k$ dan $Q_k$ secara terbalik

   $$A_{k+1} := R_k \cdot Q_k$$

   Tambahkan nilai $k$ dengan satu dan cek apakah iterasi sudah mencapai keadaan stabil

   $$\max_{j=1,\ldots,n} |(A_k)_{jj} - (A_{k-1})_{jj}| \leq \text{toleransi}$$

   Iterasi berhenti saat perubahan terbesar pada elemen diagonal sudah sangat kecil.

Sifat Kemiripan dalam Iterasi

Setiap matriks $A_k$ yang muncul dalam iterasi QR memiliki kesamaan sifat dengan matriks awal $A$. Hal ini berarti nilai eigen tidak berubah selama proses iterasi berlangsung.

Seperti menyusun puzzle yang sama dengan cara berbeda. Potongan puzzlenya tetap sama, tapi susunannya bisa berubah-ubah. Begitu juga dengan matriks kita, isinya secara matematis tetap sama meski bentuk susunannya berubah.

Konvergensi Elemen Diagonal

Bila berlaku kondisi $|\lambda_1| > |\lambda_2| > \cdots > |\lambda_n|$, maka elemen pada diagonal utama matriks $A_k$ akan mendekati nilai eigen yang sesuai

Proses ini seperti air yang mengalir ke tempat paling rendah. Nilai eigen "turun" dan menempati posisi diagonalnya masing-masing sesuai urutan besarnya.

Konvergensi Elemen Non-Diagonal

Apabila matriks $A$ berbentuk simetrik, seluruh elemen di luar diagonal utama akan menuju nol ketika $k \to \infty$.

Sebaliknya, jika matriks tidak simetrik, hanya elemen di bawah diagonal utama yang menuju nol, sementara elemen di atasnya tidak. Bayangkan seperti merapikan lemari. Kalau lemarinya simetris, semua barang bisa tertata rapi. Tapi kalau tidak simetris, ada bagian yang tetap berantakan.