Trigonalisasi dan Bentuk Normal Jordan: Metode Linear AI - Kecerdasan Buatan & Sains Data (Sarjana)

Trigonalisasi Matriks

Meskipun matriks $A$ tidak dapat didiagonalisasi, masih berlaku teorema berikut ini.

Untuk matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , jika polinomial karakteristik dari $A$ dapat dipecah menjadi faktor-faktor linear, maka $A$ serupa dengan matriks segitiga atas $R \in \mathbb{K}^{n \times n}$ . Entri-entri pada diagonal matriks segitiga atas ini adalah semua nilai eigen dari $A$ .

Hubungan keserupaan ini dinyatakan dengan:

R = S^{-1} \cdot A \cdot S

dengan $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ adalah matriks yang dapat diinverskan.

Bentuk segitiga atas ini dapat dijelaskan secara lebih tepat melalui Bentuk Normal Jordan.

Bentuk Normal Jordan

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dengan polinomial karakteristik:

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t)^{r_1} \cdot \ldots \cdot (\lambda_k - t)^{r_k}

dengan nilai eigen yang saling berbeda $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ . Maka terdapat matriks yang dapat diinverskan $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sedemikian sehingga:

S^{-1} \cdot A \cdot S = \begin{pmatrix} \lambda_1 \cdot I_{r_1} + N_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_k \cdot I_{r_k} + N_k \end{pmatrix}

Bentuk ini menunjukkan bagaimana matriks dapat diorganisasi menjadi blok-blok yang lebih sederhana, dimana setiap blok dikaitkan dengan satu nilai eigen tertentu.

Struktur Blok Jordan

Untuk setiap $i = 1, \ldots, k$ , blok Jordan $\lambda_i \cdot I_{r_i} + N_i$ memiliki struktur yang sangat khas. Bayangkan seperti tangga yang hampir sempurna, dimana setiap anak tangga memiliki nilai yang sama (yaitu nilai eigen $\lambda_i$ ), tetapi terdapat "penghubung" berupa angka $1$ di posisi tertentu yang membuat struktur ini unik.

\lambda_i \cdot I_{r_i} + N_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & 1 & \\ & & & \lambda_i & 0 \\ & & & & \lambda_i & 1 \\ & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & \ddots & 1 \\ & & & & & & & \lambda_i & 0 \\ & & & & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & & & & \ddots & 0 \\ & & & & & & & & & & \lambda_i \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{r_i \times r_i}

Dalam struktur ini, nilai eigen $\lambda_i$ mendominasi diagonal utama, sementara angka $1$ muncul pada posisi tertentu di atas diagonal (disebut superdiagonal). Posisi angka $0$ dan $1$ pada superdiagonal menentukan bagaimana blok Jordan terbagi menjadi sub-blok yang lebih kecil. Struktur ini memberikan informasi lengkap tentang bagaimana transformasi linear bekerja pada ruang vektor yang terkait dengan nilai eigen tersebut.

Trigonalisasi Matriks

Meskipun matriks

A

tidak dapat didiagonalisasi, masih berlaku teorema berikut ini.

Untuk matriks

A \in \mathbb{K}^{n \times n}

, jika polinomial karakteristik dari

A

dapat dipecah menjadi faktor-faktor linear, maka

A

serupa dengan matriks segitiga atas

R \in \mathbb{K}^{n \times n}

. Entri-entri pada diagonal matriks segitiga atas ini adalah semua nilai eigen dari

A

Hubungan keserupaan ini dinyatakan dengan:

R = S^{-1} \cdot A \cdot S

dengan

S \in \mathbb{K}^{n \times n}

adalah matriks yang dapat diinverskan.

Bentuk segitiga atas ini dapat dijelaskan secara lebih tepat melalui Bentuk Normal Jordan.

Bentuk Normal Jordan

Misalkan

A \in \mathbb{K}^{n \times n}

dengan polinomial karakteristik:

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t)^{r_1} \cdot \ldots \cdot (\lambda_k - t)^{r_k}

dengan nilai eigen yang saling berbeda

\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}

. Maka terdapat matriks yang dapat diinverskan

S \in \mathbb{K}^{n \times n}

sedemikian sehingga:

S^{-1} \cdot A \cdot S = \begin{pmatrix} \lambda_1 \cdot I_{r_1} + N_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_k \cdot I_{r_k} + N_k \end{pmatrix}

Bentuk ini menunjukkan bagaimana matriks dapat diorganisasi menjadi blok-blok yang lebih sederhana, dimana setiap blok dikaitkan dengan satu nilai eigen tertentu.

Struktur Blok Jordan

Untuk setiap

i = 1, \ldots, k

, blok Jordan

\lambda_i \cdot I_{r_i} + N_i

memiliki struktur yang sangat khas. Bayangkan seperti tangga yang hampir sempurna, dimana setiap anak tangga memiliki nilai yang sama (yaitu nilai eigen

\lambda_i

), tetapi terdapat "penghubung" berupa angka

1

di posisi tertentu yang membuat struktur ini unik.

\lambda_i \cdot I_{r_i} + N_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & 1 & \\ & & & \lambda_i & 0 \\ & & & & \lambda_i & 1 \\ & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & \ddots & 1 \\ & & & & & & & \lambda_i & 0 \\ & & & & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & & & & \ddots & 0 \\ & & & & & & & & & & \lambda_i \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{r_i \times r_i}

Dalam struktur ini, nilai eigen

\lambda_i

mendominasi diagonal utama, sementara angka

1

muncul pada posisi tertentu di atas diagonal (disebut superdiagonal). Posisi angka

0

dan

1

pada superdiagonal menentukan bagaimana blok Jordan terbagi menjadi sub-blok yang lebih kecil. Struktur ini memberikan informasi lengkap tentang bagaimana transformasi linear bekerja pada ruang vektor yang terkait dengan nilai eigen tersebut.