Trigonalisasi dan Bentuk Normal Jordan

Trigonalisasi Matriks

Meskipun matriks $A$ tidak dapat didiagonalisasi, masih berlaku teorema berikut ini.

Untuk matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$, jika polinomial karakteristik dari $A$ dapat dipecah menjadi faktor-faktor linear, maka $A$ serupa dengan matriks segitiga atas $R \in \mathbb{K}^{n \times n}$. Entri-entri pada diagonal matriks segitiga atas ini adalah semua nilai eigen dari $A$.

Hubungan keserupaan ini dinyatakan dengan:

dengan $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ adalah matriks yang dapat diinverskan.

Bentuk segitiga atas ini dapat dijelaskan secara lebih tepat melalui Bentuk Normal Jordan.

Bentuk Normal Jordan

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dengan polinomial karakteristik:

dengan nilai eigen yang saling berbeda $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$. Maka terdapat matriks yang dapat diinverskan $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sedemikian sehingga:

Bentuk ini menunjukkan bagaimana matriks dapat diorganisasi menjadi blok-blok yang lebih sederhana, dimana setiap blok dikaitkan dengan satu nilai eigen tertentu.

Struktur Blok Jordan

Untuk setiap $i = 1, \ldots, k$, blok Jordan $\lambda_i \cdot I_{r_i} + N_i$ memiliki struktur yang sangat khas. Bayangkan seperti tangga yang hampir sempurna, dimana setiap anak tangga memiliki nilai yang sama (yaitu nilai eigen $\lambda_i$), tetapi terdapat "penghubung" berupa angka 1 di posisi tertentu yang membuat struktur ini unik.

Dalam struktur ini, nilai eigen $\lambda_i$ mendominasi diagonal utama, sementara angka 1 muncul pada posisi tertentu di atas diagonal (disebut superdiagonal). Posisi angka 0 dan 1 pada superdiagonal menentukan bagaimana blok Jordan terbagi menjadi sub-blok yang lebih kecil. Struktur ini memberikan informasi lengkap tentang bagaimana transformasi linear bekerja pada ruang vektor yang terkait dengan nilai eigen tersebut.