Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear Berlebih

Bayangkan kita sedang mencoba mencocokkan sebuah kurva dengan sekumpulan data. Dalam banyak kasus praktis, kita memiliki lebih banyak data daripada parameter yang ingin kita cari. Situasi seperti ini menciptakan apa yang disebut sistem persamaan linear berlebih.

Sistem ini memiliki karakteristik khusus. Jumlah persamaan lebih banyak daripada jumlah variabel yang tidak diketahui. Secara matematis, jika kita punya $m$ persamaan dan $n$ variabel, maka kondisi $m > n$ membuat sistem ini "berlebih".

Contoh Nyata dengan Model Polinomial Kuadrat

Mari kita lihat contoh konkret. Misalkan kita memiliki $7$ titik data yang ingin kita cocokkan dengan sebuah parabola atau kurva kuadrat.

Data yang kita miliki adalah sebagai berikut.

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$t_i$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y_i$	$-2.2$	$-4.2$	$-4.2$	$-1.8$	$1.8$	$8.2$	$15.8$

Kita ingin mencari sebuah parabola yang bentuknya seperti ini.

y = a_2 \cdot t^2 + a_1 \cdot t + a_0

Di sini kita mencari $3$ parameter, yaitu $a_2$ (koefisien kuadrat), $a_1$ (koefisien linear), dan $a_0$ (konstanta).

Menyusun Sistem Persamaan

Sekarang, bagaimana kita menggunakan data ini untuk mencari parameter parabola? Idenya sederhana. Untuk setiap titik data, kita bisa menuliskan satu persamaan. Dengan $7$ titik data, kita akan mendapatkan $7$ persamaan.

a_2 \cdot (-3)^2 + a_1 \cdot (-3) + a_0 = -2.2

a_2 \cdot (-2)^2 + a_1 \cdot (-2) + a_0 = -4.2

a_2 \cdot (-1)^2 + a_1 \cdot (-1) + a_0 = -4.2

a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = -1.8

a_2 \cdot 1^2 + a_1 \cdot 1 + a_0 = 1.8

a_2 \cdot 2^2 + a_1 \cdot 2 + a_0 = 8.2

a_2 \cdot 3^2 + a_1 \cdot 3 + a_0 = 15.8

Sekarang mari kita hitung nilai kuadrat untuk setiap $t_i$ . Misalnya, untuk $t_1 = -3$ , kita punya $(-3)^2 = 9$ . Begitu juga dengan yang lain. Setelah dihitung semua, persamaan kita menjadi seperti ini.

9a_2 - 3a_1 + a_0 = -2.2

4a_2 - 2a_1 + a_0 = -4.2

1a_2 - 1a_1 + a_0 = -4.2

0a_2 + 0a_1 + a_0 = -1.8

1a_2 + 1a_1 + a_0 = 1.8

4a_2 + 2a_1 + a_0 = 8.2

9a_2 + 3a_1 + a_0 = 15.8

Bentuk Matriks

Sistem persamaan di atas bisa ditulis dalam bentuk matriks $A \cdot x = b$ .

\begin{pmatrix} 9 & -3 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2.2 \\ -4.2 \\ -4.2 \\ -1.8 \\ 1.8 \\ 8.2 \\ 15.8 \end{pmatrix}

Secara umum, untuk model polinomial kuadrat dengan $m$ titik data, bentuk matriksnya adalah sebagai berikut.

\begin{pmatrix} t_1^2 & t_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ t_m^2 & t_m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix}

Mengapa Tidak Ada Solusi Tepat

Sekarang kita hadapi situasi yang menarik. Dalam contoh kita, matriks $A$ berukuran $7 \times 3$ dan vektor $x$ berukuran $3 \times 1$ . Artinya, kita memiliki $7$ persamaan tetapi hanya $3$ variabel yang tidak diketahui.

Apakah ini berarti sistemnya tidak bisa diselesaikan? Mari kita periksa lebih dalam.

Ketiga kolom matriks $A$ saling bebas linear, sehingga peringkat matriks $A$ adalah $3$ . Namun ketika kita menambahkan vektor $b$ ke matriks $A$ untuk membentuk matriks diperluas $(A|b)$ , peringkatnya menjadi $4$ .

Kondisi ini memberitahu kita sesuatu yang penting. Sistem ini tidak memiliki solusi tepat. Dalam bahasa sederhana, tidak ada parabola tunggal yang bisa melewati ke- $7$ titik data secara sempurna.

Solusi dengan Kuadrat Terkecil

Lalu apa yang harus kita lakukan? Menyerah? Tentu tidak!

Ketika sistem persamaan linear berlebih tidak memiliki solusi tepat, kita menggunakan pendekatan kuadrat terkecil. Ide dasarnya sangat masuk akal. Jika kita tidak bisa menemukan parabola yang melewati semua titik, mari kita cari parabola yang "paling dekat" dengan semua titik.

Secara matematis, metode ini mencari parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat selisih antara nilai prediksi dan nilai observasi. Bayangkan kita menggambar parabola, lalu mengukur jarak vertikal dari setiap titik data ke parabola tersebut. Metode kuadrat terkecil mencari parabola yang membuat total kuadrat jarak-jarak ini paling kecil.

Sistem persamaan linear berlebih sangat umum dalam dunia nyata, terutama ketika kita memiliki banyak data pengukuran tetapi model yang relatif sederhana.

Pendekatan kuadrat terkecil memberikan solusi yang optimal dalam arti meminimalkan kesalahan secara keseluruhan, sehingga sangat praktis untuk aplikasi rekayasa dan sains.

Command Palette