Symmetrische und hermitesche Matrizen

Definitionen und Bedeutung der Einträge

Eine reelle quadratische Matrix $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ heißt symmetrisch, wenn

Eintragsweise lautet dieselbe Bedingung $a_{ji}=a_{ij}$. Ein Beispiel ist

Die Matrix $A$ ist symmetrisch, weil die Einträge auf beiden Seiten der Hauptdiagonalen übereinstimmen.

Eine komplexe quadratische Matrix $H\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt hermitesch, wenn

Eintragsweise bedeutet die hermitesche Bedingung $h_{ji}=\overline{h_{ij}}$. Ein Beispiel mit komplexen Einträgen ist

Jede reelle symmetrische Matrix ist über $\mathbb{C}$ betrachtet hermitesch. Die Umkehrung gilt nicht, denn eine hermitesche Matrix darf außerhalb der Diagonalen komplexe Einträge besitzen.

Auf der Diagonalen liefert die hermitesche Bedingung $h_{ii}=\overline{h_{ii}}$. Daher ist jeder Diagonaleintrag reell.

Reelle und komplexe Skalarprodukte

Transponieren und konjugiertes Transponieren dürfen nicht verwechselt werden. Für $x\in\mathbb{R}^n$ gilt

Für $x\in\mathbb{C}^n$ verwendet man die konjugierte Transponierte:

Im jeweiligen Körper ist der passende Ausdruck genau dann null, wenn $x=0$ ist. Für einen komplexen Vektor muss $x^Tx$ nicht einmal reell sein. Deshalb verwendet die komplexe Geometrie $x^Hx$.

Quadratische und hermitesche Formen

Eine reelle symmetrische Matrix definiert die quadratische Form

Eine hermitesche Matrix definiert die reellwertige hermitesche Form

Um zu zeigen, dass $x^HHx$ reell ist, bilde das komplex Konjugierte dieses Ausdrucks.

Ein Skalar ist genau dann gleich seinem komplex Konjugierten, wenn er reell ist. Im reellen Fall trägt der schiefsymmetrische Anteil einer beliebigen Matrix nichts zur quadratischen Form bei:

Der schiefsymmetrische Anteil trägt nichts bei, weil $x^T(B-B^T)x=0$ gilt. Quadratische Formen hängen somit nur vom symmetrischen Anteil ab.

Warum hermitesche Eigenwerte reell sind

Sei $Hv=\lambda v$ mit $v\neq0$. Aus der hermiteschen Symmetrie folgt

Da $v^Hv>0$ gilt, folgt $\lambda=\overline{\lambda}$ und damit $\lambda\in\mathbb{R}$. Für reelle symmetrische Matrizen gilt dieselbe Folgerung.

Warum verschiedene Eigenräume orthogonal sind

Seien $Hv=\lambda v$ und $Hw=\mu w$ mit $\lambda\neq\mu$. Da beide Eigenwerte reell sind,

Daher gilt $(\lambda-\mu)w^Hv=0$ und somit $w^Hv=0$. Bei einem mehrfachen Eigenwert müssen beliebige Eigenvektoren innerhalb desselben Eigenraums nicht orthogonal sein. Mit Gram-Schmidt lässt sich dort jedoch eine Orthonormalbasis wählen.

Spektralzerlegung und Geometrie quadratischer Formen

Der Spektralsatz fasst diese Tatsachen zu einer vollständigen Zerlegung zusammen:

Die Spalten von $Q$ oder $U$ bilden eine orthonormale Eigenbasis, und jeder Diagonaleintrag von $\Lambda$ ist reell. Sind $u_1,\ldots,u_n$ die Spalten von $U$, dann gilt

Diese Formel zeigt unmittelbar, dass $H$ genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte positiv sind.

Vollständig gerechnete hermitesche Diagonalisierung

Für die zuvor betrachtete Matrix

Für die Matrix $H$ lautet das charakteristische Polynom

Normierte Eigenvektoren zu $\lambda_1=1$ und $\lambda_2=4$ sind

Sie erfüllen $u_1^Hu_2=0$. Mit $U=(u_1\quad u_2)$ gilt

Prüfe die Orthogonalität und den ersten Eigenvektor direkt. Der Normierungsfaktor bleibt dabei außerhalb des Produkts.