Symmetrische und hermitesche Matrizen

Definitionen und Bedeutung der Einträge

Symmetrische und hermitesche Matrizen

Definitionen und Bedeutung der Einträge

Eine reelle quadratische Matrix $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ heißt symmetrisch, wenn

A^T=A

oder eintragsweise $a_{ji}=a_{ij}$ gilt. Zum Beispiel ist

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}

symmetrisch, weil die Einträge auf beiden Seiten der Hauptdiagonalen übereinstimmen.

Eine komplexe quadratische Matrix $H\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt hermitesch, wenn

H^H=H

also $h_{ji}=\overline{h_{ij}}$ gilt. Ein Beispiel mit tatsächlich komplexen Einträgen ist

H=\begin{pmatrix}2&1+i\\1-i&3\end{pmatrix}

Jede reelle symmetrische Matrix ist über $\mathbb{C}$ betrachtet hermitesch. Die Umkehrung gilt nicht, denn eine hermitesche Matrix darf außerhalb der Diagonalen komplexe Einträge besitzen.

Auf der Diagonalen liefert die hermitesche Bedingung $h_{ii}=\overline{h_{ii}}$ . Daher ist jeder Diagonaleintrag reell.

Reelle und komplexe Skalarprodukte

Transponieren und konjugiertes Transponieren dürfen nicht verwechselt werden. Für $x\in\mathbb{R}^n$ gilt

x^Tx=\sum_{k=1}^n x_k^2\geq0

und für $x\in\mathbb{C}^n$ gilt

x^Hx=\sum_{k=1}^n\overline{x_k}x_k=\sum_{k=1}^n|x_k|^2\geq0

Im jeweiligen Körper ist der passende Ausdruck genau dann null, wenn $x=0$ ist. Für einen komplexen Vektor muss $x^Tx$ nicht einmal reell sein. Deshalb verwendet die komplexe Geometrie $x^Hx$ .

Quadratische und hermitesche Formen

Eine reelle symmetrische Matrix definiert die quadratische Form

q:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

Eine hermitesche Matrix definiert die reellwertige hermitesche Form

q:\mathbb{C}^n\to\mathbb{R}

Um zu beweisen, dass ihr Wert reell ist, konjugieren wir den Skalar:

\overline{x^HHx}=(x^HHx)^H

Ein Skalar ist genau dann gleich seinem komplex Konjugierten, wenn er reell ist. Im reellen Fall trägt der schiefsymmetrische Anteil einer beliebigen Matrix nichts zur quadratischen Form bei:

x^TBx=x^T\left(\frac{B+B^T}{2}\right)x

denn $x^T(B-B^T)x=0$ . Quadratische Formen hängen somit nur vom symmetrischen Anteil ab.

Warum hermitesche Eigenwerte reell sind

Sei $Hv=\lambda v$ mit $v\neq0$ . Aus der hermiteschen Symmetrie folgt

\lambda v^Hv=v^HHv

Da $v^Hv>0$ gilt, folgt $\lambda=\overline{\lambda}$ und damit $\lambda\in\mathbb{R}$ . Für reelle symmetrische Matrizen gilt dieselbe Folgerung.

Warum verschiedene Eigenräume orthogonal sind

Seien $Hv=\lambda v$ und $Hw=\mu w$ mit $\lambda\neq\mu$ . Da beide Eigenwerte reell sind,

\lambda w^Hv=w^HHv

Daher gilt $(\lambda-\mu)w^Hv=0$ und somit $w^Hv=0$ . Bei einem mehrfachen Eigenwert müssen beliebige Eigenvektoren innerhalb desselben Eigenraums nicht orthogonal sein. Mit Gram-Schmidt lässt sich dort jedoch eine Orthonormalbasis wählen.

Spektralzerlegung und Geometrie quadratischer Formen

Der Spektralsatz fasst diese Tatsachen zu einer vollständigen Zerlegung zusammen:

A=A^T\in\mathbb{R}^{n\times n}:\qquad A=Q\Lambda Q^T

Die Spalten von $Q$ oder $U$ bilden eine orthonormale Eigenbasis, und jeder Diagonaleintrag von $\Lambda$ ist reell. Sind $u_1,\ldots,u_n$ die Spalten von $U$ , dann gilt

x^HHx=\sum_{j=1}^n\lambda_j|u_j^Hx|^2

Diese Formel zeigt unmittelbar, dass $H$ genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte positiv sind.

Vollständig gerechnete hermitesche Diagonalisierung

Für die zuvor betrachtete Matrix

H=\begin{pmatrix}2&1+i\\1-i&3\end{pmatrix}

lautet das charakteristische Polynom

\det(H-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)-2=(\lambda-1)(\lambda-4)

Normierte Eigenvektoren zu $\lambda_1=1$ und $\lambda_2=4$ sind

u_1=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}-(1+i)\\1\end{pmatrix}

Sie erfüllen $u_1^Hu_2=0$ . Mit $U=(u_1\quad u_2)$ gilt

U^HHU=\operatorname{diag}(1,4)

und der abstrakte Satz liefert eine unmittelbar überprüfbare unitäre Diagonalisierung.