Ableitungsregeln

Von der Grenzwertdefinition zu praktischen Regeln

Die Grenzwertdefinition erklärt $die Bedeutung einer Ableitung$ . Wird die vollständige Grenzwertrechnung auf mehrere Funktionen angewendet, wiederholen sich bestimmte algebraische Schritte. Ableitungsregeln fassen die Ergebnisse dieser Rechnungen zusammen, ohne die Grundidee der momentanen Änderungsrate zu verändern.

Bestimme bei jeder Funktion zuerst ihren Aufbau. Wähle dann die passende Ableitungsregel und notiere jeden algebraischen Schritt nachvollziehbar.

Regeln für Konstanten Potenzen und Linearität

Aus der Definition der Ableitung entstehen wenige Regeln, die sich schneller anwenden lassen. Alle drei Regeln setzen voraus, dass die $Ableitung an der betrachteten Stelle existiert$ .

Konstanten und Potenzfunktionen

$Konstantenregel$ : Der Graph einer konstanten Funktion ist waagerecht. Seine Steigung ist daher an jeder Stelle null.

$f(x)=k \implies f'(x)=0$
$Potenzregel$ : Für eine Konstante $a$ multiplizieren wir mit dem Exponenten und verringern den Exponenten anschließend um eins.

$f(x)=ax^n \implies f'(x)=anx^{n-1}$

Diese Formel gilt für jede ganze Zahl $n$ überall dort, wo $x^n$ definiert ist. Für einen allgemeinen reellen Exponenten gilt sie auf $x>0$ und auf jedem größeren reellen Bereich, in dem die Potenzfunktion definiert und differenzierbar ist.

Linearkombinationen

Seien $u(x)$ und $v(x)$ differenzierbare Funktionen.

$Konstanter Faktor$ : Ein konstanter Faktor bleibt vor der Ableitung stehen.

$f(x)=k\,u(x) \implies f'(x)=k\,u'(x)$
$Summe und Differenz$ : Leite jeden Summanden einzeln ab und behalte die Rechenoperation zwischen ihnen bei.

$\begin{aligned} f(x) &=u(x)\pm v(x) \\ f'(x)&=u'(x)\pm v'(x) \end{aligned}$

Produktregel Quotientenregel und Kettenregel

Manche Terme lassen sich nicht gliedweise ableiten. Diese Regeln sind nötig, weil die Ableitung einer Verknüpfung nicht die Verknüpfung der Ableitungen ist. Beim Produkt leitest du $jeweils einen Faktor$ ab, während der andere stehen bleibt, und addierst beide Ergebnisse. Beim Quotienten tritt ein Nenner auf, und bei einer Verkettung multipliziert die innere Ableitung die äußere.

Produktregel

Bei einem Produkt genügt es nicht, beide Faktoren abzuleiten und die Ergebnisse zu multiplizieren. Leite jeweils einen Faktor ab, während der andere unverändert bleibt, und addiere anschließend beide Terme.

\begin{aligned} f(x) &=u(x)v(x) \\ f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \end{aligned}

Setze $u(x)=x^2$ und $v(x)=x+1$ . Wir brauchen $zwei Produktterme$ , weil sich beide Faktoren mit $x$ ändern:

\begin{aligned}f'(x)&=(2x)(x+1)+x^2(1)\\&=2x^2+2x+x^2\\&=3x^2+2x\end{aligned}

Zur Kontrolle kannst du die ursprüngliche Funktion zu $x^3+x^2$ ausmultiplizieren. Wenn du beide Terme ableitest, erhältst du wieder $3x^2+2x$ .

Quotientenregel

Bei einem Quotienten ist $die Reihenfolge der Terme im Zähler$ wichtig. Der Nenner $v(x)$ muss außerdem überall dort ungleich null sein, wo die ursprüngliche Funktion definiert ist.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{u(x)}{v(x)} \\ f'(x)&= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\end{aligned}

Wähle für $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ die Funktionen $u=x+1$ und $v=x-1$ . Beide Ableitungen sind $1$ . Behalte die $Reihenfolge der Subtraktion$ im Zähler bei:

\begin{aligned}f'(x)&=\frac{1(x-1)-(x+1)1}{(x-1)^2}\\&=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2}\\&=\frac{-2}{(x-1)^2}\end{aligned}

Die Einschränkung $x\ne1$ gilt sowohl für die Funktion als auch für ihre Ableitung. Wenn du die beiden Zählerterme vertauschst, erhältst du das falsche Vorzeichen.

Kettenregel

Eine verkettete Funktion setzt eine Funktion in eine andere ein. Leite zunächst die äußere Funktion am $unveränderten inneren Ausdruck$ ab und multipliziere danach mit der Ableitung der inneren Funktion.

\begin{aligned} f(x) &=g(u(x)) \\ f'(x)&=g'(u(x))\,u'(x) \end{aligned}

Die Kettenregel auf eine verkettete Funktion anwenden

Bestimme die Ableitung von $f(x)=(x^2+1)^3$ .

Die äußere Funktion erhebt ihren Eingang zur dritten Potenz. Die innere Funktion lautet $u(x)=x^2+1$ . Wir wenden außen die Potenzregel an und multiplizieren anschließend mit der $Ableitung der inneren Funktion$ .

u'(x)=2x

Der Faktor $2x$ ist unverzichtbar. Ohne ihn hätten wir nur die äußere Funktion abgeleitet und die Kettenregel nicht vollständig angewendet.

Übung

Jede Aufgabe braucht eine oder mehrere $kombinierte Ableitungsregeln$ . Entscheide dich vor dem Ableiten für die Regel. Schreibe die gewählte Regel neben die erste Zeile, damit eine falsche Regel erkennbar wird, bevor die Rechnung lang wird.

Bestimme die Ableitung von $h(x)=(2x-1)^4$ .

Ausführliche Lösung

Die $äußere Funktion$ ist eine vierte Potenz. Die innere Funktion ist $u(x)=2x-1$ mit der Ableitung $u'(x)=2$ .

h'(x)=4[u(x)]^3u'(x)

Das Ergebnis enthält beide Teile der Verkettung: die Ableitung der vierten Potenz und die Ableitung der linearen inneren Funktion.