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Bestimme bei jeder Funktion zuerst ihren Aufbau. Wähle dann die passende Ableitungsregel und notiere jeden algebraischen Schritt nachvollziehbar.
Aus der Definition der Ableitung entstehen wenige Regeln, die sich schneller anwenden lassen. Alle drei Regeln setzen voraus, dass die Ableitung an der betrachteten Stelle existiert.
Konstantenregel: Der Graph einer konstanten Funktion ist waagerecht. Seine Steigung ist daher an jeder Stelle null.
Potenzregel: Für eine Konstante multiplizieren wir mit dem Exponenten und verringern den Exponenten anschließend um eins.
Seien und differenzierbare Funktionen.
Konstanter Faktor: Ein konstanter Faktor bleibt vor der Ableitung stehen.
Summe und Differenz: Leite jeden Summanden einzeln ab und behalte die Rechenoperation zwischen ihnen bei.
Manche Terme lassen sich nicht gliedweise ableiten. Diese Regeln sind nötig, weil die Ableitung einer Verknüpfung nicht die Verknüpfung der Ableitungen ist. Beim Produkt leitest du jeweils einen Faktor ab, während der andere stehen bleibt, und addierst beide Ergebnisse. Beim Quotienten tritt ein Nenner auf, und bei einer Verkettung multipliziert die innere Ableitung die äußere.
Bei einem Produkt genügt es nicht, beide Faktoren abzuleiten und die Ergebnisse zu multiplizieren. Leite jeweils einen Faktor ab, während der andere unverändert bleibt, und addiere anschließend beide Terme.
Setze und . Wir brauchen zwei Produktterme, weil sich beide Faktoren mit ändern:
Zur Kontrolle kannst du die ursprüngliche Funktion zu ausmultiplizieren. Wenn du beide Terme ableitest, erhältst du wieder .
Bei einem Quotienten ist die Reihenfolge der Terme im Zähler wichtig. Der Nenner muss außerdem überall dort ungleich null sein, wo die ursprüngliche Funktion definiert ist.
Wähle für die Funktionen und . Beide Ableitungen sind . Behalte die Reihenfolge der Subtraktion im Zähler bei:
Die Einschränkung gilt sowohl für die Funktion als auch für ihre Ableitung. Wenn du die beiden Zählerterme vertauschst, erhältst du das falsche Vorzeichen.
Eine verkettete Funktion setzt eine Funktion in eine andere ein. Leite zunächst die äußere Funktion am unveränderten inneren Ausdruck ab und multipliziere danach mit der Ableitung der inneren Funktion.
Bestimme die Ableitung von .
Die äußere Funktion erhebt ihren Eingang zur dritten Potenz. Die innere Funktion lautet . Wir wenden außen die Potenzregel an und multiplizieren anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion.
Der Faktor ist unverzichtbar. Ohne ihn hätten wir nur die äußere Funktion abgeleitet und die Kettenregel nicht vollständig angewendet.
Jede Aufgabe braucht eine oder mehrere kombinierte Ableitungsregeln. Entscheide dich vor dem Ableiten für die Regel. Schreibe die gewählte Regel neben die erste Zeile, damit eine falsche Regel erkennbar wird, bevor die Rechnung lang wird.
Die äußere Funktion ist eine vierte Potenz. Die innere Funktion ist mit der Ableitung .
Das Ergebnis enthält beide Teile der Verkettung: die Ableitung der vierten Potenz und die Ableitung der linearen inneren Funktion.
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Diese Formel gilt für jede ganze Zahl überall dort, wo definiert ist. Für einen allgemeinen reellen Exponenten gilt sie auf und auf jedem größeren reellen Bereich, in dem die Potenzfunktion definiert und differenzierbar ist.
