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Die Grenzwertdefinition erklärt, was eine Ableitung bedeutet. Würden wir diese vollständige Grenzwertrechnung bei jeder Funktion wiederholen, bliebe das wiederkehrende Muster jedoch leicht verborgen. Ableitungsregeln fassen diese Muster zusammen, ohne die Grundidee der momentanen Änderungsrate zu verändern.
Entscheidend ist nicht, eine lange Liste auswendig zu lernen. Wir müssen erkennen, wie eine Funktion aufgebaut ist, die passende Regel wählen und jeden algebraischen Schritt nachvollziehbar notieren.
Konstantenregel: Der Graph einer konstanten Funktion ist waagerecht. Seine Steigung ist daher an jeder Stelle null.
Potenzregel: Für eine Konstante multiplizieren wir mit dem Exponenten und verringern den Exponenten anschließend um eins.
Diese Formel gilt für jede ganze Zahl überall dort, wo definiert ist. Für einen allgemeinen reellen Exponenten gilt sie auf und auf jedem größeren reellen Bereich, in dem die Potenzfunktion definiert und differenzierbar ist.
Seien und differenzierbare Funktionen.
Konstanter Faktor: Ein konstanter Faktor bleibt vor der Ableitung stehen.
Summe und Differenz: Leite jeden Summanden einzeln ab und behalte die Rechenoperation zwischen ihnen bei.
Bei einem Produkt genügt es nicht, beide Faktoren abzuleiten und die Ergebnisse zu multiplizieren. Leite jeweils einen Faktor ab, während der andere unverändert bleibt, und addiere anschließend beide Terme.
Bei einem Quotienten ist die Reihenfolge der Terme im Zähler wichtig. Der Nenner muss außerdem überall dort ungleich null sein, wo die ursprüngliche Funktion definiert ist.
Eine verkettete Funktion setzt eine Funktion in eine andere ein. Leite zunächst die äußere Funktion am unveränderten inneren Ausdruck ab und multipliziere danach mit der Ableitung der inneren Funktion.
Bestimme die Ableitung von .
Die äußere Funktion erhebt ihren Eingang zur dritten Potenz. Die innere Funktion lautet . Wir wenden außen die Potenzregel an und multiplizieren anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion.
Der Faktor ist unverzichtbar. Ohne ihn hätten wir nur die äußere Funktion abgeleitet und die Kettenregel nicht vollständig angewendet.
Die äußere Funktion ist eine vierte Potenz. Die innere Funktion ist mit der Ableitung .
Das Ergebnis enthält beide Teile der Verkettung: die Ableitung der vierten Potenz und die Ableitung der linearen inneren Funktion.
