Anwendungen der Ableitung

Bewegung mithilfe von Ableitungen

Eine Ableitung beschreibt die $Änderungsrate einer Größe$ bezüglich ihrer Bezugsvariablen. Aus dem Ort als Funktion der Zeit ergeben sich durch aufeinanderfolgendes Ableiten die Momentangeschwindigkeit und die Beschleunigung. Die Geschwindigkeit misst die Ortsänderung pro Zeiteinheit. Die Beschleunigung misst die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit.

Momentangeschwindigkeit aus der Ortsfunktion

Während ein Auto fährt, ändert sich sein Ort mit der Zeit. Die $Geschwindigkeit$ ist die Änderungsrate dieses Ortes. Beschreibt $s(t)$ den Ort, dann ist die Momentangeschwindigkeit $v(t)$ zur Zeit $t$ die erste Ableitung der Ortsfunktion.

v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}

Zu jeder Zeit, an der $s$ differenzierbar ist, liefert diese Ableitung die Momentangeschwindigkeit. Der Durchschnitt über ein Zeitintervall beschreibt dagegen die mittlere Geschwindigkeit.

Bestimmen der Geschwindigkeitsfunktion

Die Bewegung eines Teilchens sei durch $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ beschrieben. Dabei wird $s$ in Metern und $t$ in Sekunden gemessen. Für die Geschwindigkeitsfunktion leiten wir $s(t)$ nach $t$ ab.

v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t)

Für $t = 1 \text{ Sekunde}$ gilt $v(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 0 \text{ m/s}$ . Die Geschwindigkeit null bedeutet, dass das Teilchen momentan ruht. Sie beweist für sich allein jedoch noch keinen Richtungswechsel. Wir faktorisieren die Geschwindigkeitsfunktion und prüfen ihr Vorzeichen auf beiden Seiten von $t=1$ :

v(t)=3(t-1)(t-3)

Für $0<t<1$ sind beide Faktoren negativ, also gilt $v(t)>0$ . Für $1<t<3$ haben die Faktoren verschiedene Vorzeichen, also gilt $v(t)<0$ . Damit wechselt die Geschwindigkeit bei $t=1$ ihr Vorzeichen. Das Teilchen kehrt dort nachweislich seine Bewegungsrichtung um.

Der Geschwindigkeitsgraph zeigt einen $Richtungswechsel$ , wenn er die Zeitachse schneidet. Im dargestellten Intervall liegen die Schnittstellen bei $t=1$ und $t=3$ . Vergleiche die Vorzeichen der Geschwindigkeit vor und nach jedem Schnittpunkt.

Vorzeichen der Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung

Die waagerechte Achse zeigt die Zeit in Sekunden, die senkrechte Achse die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde. Unterhalb der Zeitachse nimmt die Ortskoordinate ab.

Beschleunigung aus der Geschwindigkeit

Auch die Geschwindigkeit kann sich ändern, etwa beim Beschleunigen oder Bremsen eines Autos. Diese Änderung heißt $Beschleunigung$ . Die Funktion $a(t)$ $ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit$ und damit zugleich die zweite Ableitung des Ortes.

a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}

Bestimmung der Beschleunigungsfunktion

Im vorherigen Beispiel lautet die Geschwindigkeitsfunktion $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ . Durch $erneutes Ableiten$ von $v(t)$ erhalten wir die Beschleunigungsfunktion.

a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 9)

Für $t = 3 \text{ Sekunden}$ beträgt die Beschleunigung beispielsweise $a(3) = 6(3) - 12 = 6 \text{ m/s}^2$ .

Maximale Höhe bei einer senkrechten Bewegung

Ein Ball wird direkt nach oben geworfen. Seine Höhe, $h(t)$ in Metern, nach $t \text{ Sekunden}$ wird durch die Gleichung $h(t) = 50t - 5t^2$ angegeben.

Zuerst bestimmen wir die Geschwindigkeits- und die Beschleunigungsfunktion.

Geschwindigkeitsfunktion:

v(t) = h'(t) = 50 - 10t

Beschleunigungsfunktion:

a(t) = v'(t) = -10

In diesem vereinfachten Modell ist die Richtung nach oben positiv und der Luftwiderstand wird vernachlässigt. Die Erdbeschleunigung nahe der Erdoberfläche wird von $-9{,}8 \text{ m/s}^2$ auf $-10 \text{ m/s}^2$ gerundet. Das negative Vorzeichen zeigt, dass die Beschleunigung nach unten gerichtet ist.

Wegen $h(0)=0$ und $h(10)=0$ reicht der modellierte Flug vom Abwurf bei $t=0$ bis zur Rückkehr auf die Ausgangshöhe bei $t=10$ .

Nun bestimmen wir, $wann der Ball seine maximale Höhe erreicht$ .

Am höchsten Punkt kommt der Ball für einen Augenblick zum Stillstand und ändert danach seine Bewegungsrichtung. Deshalb setzen wir seine Geschwindigkeit gleich null.

v(t) = 0

Der Ball erreicht seinen höchsten Punkt nach $5 \text{ Sekunden}$ . Für die maximale Höhe setzen wir $t=5$ in die ursprüngliche Höhenfunktion ein.

\begin{aligned} h(5) &= 50(5) - 5(5)^2 \\ &= 250 - 125 \\ &= 125 \end{aligned}

Die $maximale Höhe$ beträgt $125 \text{ Meter}$ . Im Intervall $0<t<10$ ist die Geschwindigkeit vor $t=5$ positiv und danach negativ. Die Höhe nimmt deshalb bis zum höchsten Punkt zu und anschließend ab. Dieser Vorzeichenwechsel bestätigt das Maximum.