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Ableitungen sind nicht nur ein abstraktes Konzept. Sie beschreiben, wie sich eine Größe verändert. Eine besonders anschauliche Anwendung ist die Bewegung eines Körpers: Aus seiner Ortsfunktion lassen sich die momentane Geschwindigkeit und anschließend die Beschleunigung bestimmen.
Während ein Auto fährt, ändert sich sein Ort mit der Zeit. Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate dieses Ortes. Beschreibt den Ort, dann ist die Momentangeschwindigkeit zur Zeit die erste Ableitung der Ortsfunktion.
Zu jeder Zeit, an der differenzierbar ist, liefert diese Ableitung die Momentangeschwindigkeit und nicht nur den Durchschnitt über ein Zeitintervall.
Die Bewegung eines Teilchens sei durch beschrieben. Dabei wird in Metern und in Sekunden gemessen. Für die Geschwindigkeitsfunktion leiten wir nach ab.
Für gilt . Die Geschwindigkeit null bedeutet, dass das Teilchen momentan ruht. Sie beweist für sich allein jedoch noch keinen Richtungswechsel. Wir faktorisieren die Geschwindigkeitsfunktion und prüfen ihr Vorzeichen auf beiden Seiten von :
Für sind beide Faktoren negativ, also gilt . Für haben die Faktoren verschiedene Vorzeichen, also gilt . Damit wechselt die Geschwindigkeit bei ihr Vorzeichen. Das Teilchen kehrt dort nachweislich seine Bewegungsrichtung um.
Auch die Geschwindigkeit kann sich ändern, etwa beim Beschleunigen oder Bremsen eines Autos. Diese Änderung heißt Beschleunigung. Die Funktion ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit und damit zugleich die zweite Ableitung des Ortes.
Im vorherigen Beispiel lautet die Geschwindigkeitsfunktion . Durch erneutes Ableiten von erhalten wir die Beschleunigungsfunktion.
Für beträgt die Beschleunigung beispielsweise .
Ein Ball wird direkt nach oben geworfen. Seine Höhe, in Metern, nach wird durch die Gleichung angegeben.
Zuerst bestimmen wir die Geschwindigkeits- und die Beschleunigungsfunktion.
Geschwindigkeitsfunktion:
Beschleunigungsfunktion:
Dieses Unterrichtsmodell wählt die Richtung nach oben als positiv, vernachlässigt den Luftwiderstand und verwendet nahe der Erdoberfläche die konstante Beschleunigung . Das negative Vorzeichen kennzeichnet die Richtung nach unten. Als Näherung wird meist verwendet; hier ist der Wert auf gerundet.
Wegen und reicht der modellierte Flug vom Abwurf bei bis zur Rückkehr auf die Ausgangshöhe bei .
Nun bestimmen wir, wann der Ball seine maximale Höhe erreicht.
Am höchsten Punkt kommt der Ball für einen Augenblick zum Stillstand und ändert danach seine Bewegungsrichtung. Deshalb setzen wir seine Geschwindigkeit gleich null.
Der Ball erreicht seinen höchsten Punkt nach . Für die maximale Höhe setzen wir in die ursprüngliche Höhenfunktion ein.
Die maximale Höhe beträgt somit . Die Rechnung bildet eine vollständige Kette: Ortsfunktion ableiten, die Nullstelle der Geschwindigkeit im physikalischen Zeitintervall bestimmen und diesen Zeitpunkt in die ursprüngliche Höhenfunktion einsetzen.
