Extremwerte mit dem ersten und zweiten Ableitungstest

Extrempunkte

Im Alltag suchen wir oft nach einem bestmöglichen Wert, etwa dem größten Gewinn, den geringsten Kosten oder der kürzesten Entfernung. In der Mathematik heißen solche Werte $Extremwerte$ . Dazu gehören $Maximalwerte$ und $Minimalwerte$ . Die zugehörigen Punkte nennt man $Extrempunkte$ .

$Ein lokaler Extrempunkt im Inneren des Definitionsbereichs$ einer differenzierbaren Funktion ist ein stationärer Punkt mit $f'(x)=0$ . Allgemeiner können lokale Extrempunkte auch dort auftreten, wo die Ableitung nicht definiert ist, oder an einem Randpunkt des Definitionsbereichs. Ein stationärer Punkt muss deshalb weiter geprüft werden. Die folgenden Prüfungen verwenden den ersten und zweiten Ableitungstest.

Erster Ableitungstest

Beim ersten Ableitungstest betrachten wir, ob die Funktion links und rechts von einer stationären Stelle steigt oder fällt. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ .

$Lokales Maximum (Hochpunkt)$ : Die Funktion wechselt von $steigend zu fallend$ . Das Vorzeichen von $f'(x)$ wechselt von $positiv (+) zu negativ (-)$ , wie an einem Berggipfel.
$Lokales Minimum (Tiefpunkt)$ : Die Funktion wechselt von $fallend zu steigend$ . Das Vorzeichen von $f'(x)$ wechselt von $negativ (-) zu positiv (+)$ , wie am tiefsten Punkt eines Tals.
$Kein lokales Extremum$ : Wenn das Vorzeichen von $f'(x)$ gleich bleibt, liegt weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum vor. Die Stelle kann ein stationärer Wendepunkt sein, doch dafür muss sich zusätzlich die Krümmung ändern.

Die folgende Darstellung zeigt die waagerechten Tangenten an einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum.

Visualisierung des ersten Ableitungstests

Die horizontalen Hilfslinien zeigen, wo die Steigung am lokalen Maximum und am lokalen Minimum null ist.

Extremwerte einer kubischen Funktion durch Vorzeichen prüfen

Bestimme die stationären Werte von $f(x) = x(x-3)^2$ mit dem ersten Ableitungstest.

$Lösung$ :

$Schritt 1$ : Erste Ableitung bestimmen

Zunächst multiplizieren wir die Funktion aus: $f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

Damit lautet die Ableitung:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

$Schritt 2$ : Stationäre Stellen bestimmen

Setze $f'(x) = 0$ .

3x^2 - 12x + 9 = 0

Die stationären Punkte liegen bei $x = 1$ und $x = 3$ .

$Schritt 3$ : Vorzeichen in der Umgebung prüfen

$x = 1$ : Links davon, also für $x < 1$ (zum Beispiel $x=0$ ), ist $f'(0) = 9$ positiv. Rechts davon, also für $1 < x < 3$ (zum Beispiel $x=2$ ), ist $f'(2) = -3$ negativ. Der Wechsel von (+) nach (-) zeigt: Bei $x=1$ liegt ein Hochpunkt.
$x = 3$ : Links davon, also für $1 < x < 3$ (zum Beispiel $x=2$ ), ist $f'(2) = -3$ negativ. Rechts davon, also für $x > 3$ (zum Beispiel $x=4$ ), ist $f'(4) = 9$ positiv. Der Wechsel von (-) nach (+) zeigt: Bei $x=3$ liegt ein Tiefpunkt.

$Schritt 4$ : Funktionswerte berechnen

Für die zugehörigen $y$ -Werte setzen wir die stationären $x$ -Koordinaten ( $x = 1$ und $x = 3$ ) in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein.

Lokaler Maximalwert: $f(1) = 1(1-3)^2 = 4$ .
Lokaler Minimalwert: $f(3) = 3(3-3)^2 = 0$ .

Damit ist $4$ der lokale Maximalwert am Hochpunkt $(1,4)$ . Der lokale Minimalwert $0$ liegt am Tiefpunkt $(3,0)$ .

Visualisierung von Extrempunkten

Die Kurve

f(x) = x(x-3)^2

mit waagerechten Tangenten an ihrem Hoch- und Tiefpunkt.

Zweiter Ableitungstest

Dieser Test wertet die zweite Ableitung an der stationären Stelle aus, ohne Vorzeichen in Nachbarintervallen zu prüfen. Er verwendet die zweite Ableitung $f''(x)$ , um die Krümmung des Graphen an einer stationären Stelle zu bestimmen.

Angenommen, $f'(c) = 0$ und $f''$ ist auf einem Intervall um $c$ stetig.

Wenn $f''(c) < 0$ , ist $f(c)$ ein $lokaler Maximalwert$ . Der Graph ist dort nach unten gekrümmt, wie eine umgedrehte Schüssel.
Wenn $f''(c) > 0$ , ist $f(c)$ ein $lokaler Minimalwert$ . Der Graph ist dort nach oben gekrümmt, wie eine offene Schüssel.
Wenn $f''(c) = 0$ , ist der Test $nicht entscheidend$ . Dann verwenden wir den ersten Ableitungstest oder ein anderes Argument. Die Stelle kann ein Maximum, ein Minimum, ein Wendepunkt oder keiner dieser Fälle sein.

Extremwerte einer kubischen Funktion durch Krümmung prüfen

Bestimme die Extremwerte von $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$ mit dem zweiten Ableitungstest.

$Lösung$ :

$Schritt 1$ : Erste und zweite Ableitung bestimmen

f'(x) = x^2 - 2x - 3

$Schritt 2$ : Stationäre Stellen bestimmen

x^2 - 2x - 3 = 0

Die stationären Punkte liegen bei $x = 3$ und $x = -1$ .

$Schritt 3$ : Zweite Ableitung auswerten

Für $x = 3$ : $f''(3) = 2(3) - 2 = 4$ . Da $4 > 0$ gilt, liegt dort ein $lokales Minimum$ .
Für $x = -1$ : $f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4$ . Da $-4 < 0$ gilt, liegt dort ein $lokales Maximum$ .

$Schritt 4$ : Extremwerte berechnen

Setze $x=3$ und $x=-1$ in die ursprüngliche Funktion ein.

Lokaler Minimalwert: $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$ .
Lokaler Maximalwert: $f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 2 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 2 = \frac{11}{3}$ .

Die Kurve ist am Punkt $x=-1$ nach unten und am Punkt $x=3$ nach oben gekrümmt.

Visualisierung des zweiten Ableitungstests

Der Graph von

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2

. Die Hilfslinien markieren das Maximum bei

x=-1

, wo der Graph nach unten gekrümmt ist, und das Minimum bei

x=3

, wo er nach oben gekrümmt ist.

Übungen

Zur Einordnung des stationären Punkts verwendest du den $ersten oder zweiten Ableitungstest$ . Eine waagerechte Tangente allein entscheidet noch nicht, ob die Funktion ein Maximum oder ein Minimum erreicht.

Bestimme den stationären Punkt der Funktion $y = x^2 + 2x - 3$ .

Ausführliche Lösung

$Lösung$ :

$Schritt 1$ : Bestimme die erste Ableitung

$f'(x) = 2x + 2$

$Schritt 2$ : Bestimme die stationäre Stelle

Setze $f'(x) = 0$ .

$2x + 2 = 0 \implies x = -1$

$Schritt 3$ : Bestimme den $y$ -Wert

Setze $x = -1$ in die ursprüngliche Funktion ein.

$\begin{aligned} y &= (-1)^2 + 2(-1) - 3 \\ &= 1 - 2 - 3 \\ &= -4 \end{aligned}$

Der stationäre Punkt ist somit $(-1, -4)$ . Da beim zweiten Ableitungstest $f''(x)=2 > 0$ gilt, liegt dort ein Minimum vor.

Extrempunkte

Erster Ableitungstest

Beim ersten Ableitungstest betrachten wir, ob die Funktion links und rechts von einer stationären Stelle steigt oder fällt. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ .

$Lokales Maximum (Hochpunkt)$ : Die Funktion wechselt von $steigend zu fallend$ . Das Vorzeichen von $f'(x)$ wechselt von $positiv (+) zu negativ (-)$ , wie an einem Berggipfel.
$Lokales Minimum (Tiefpunkt)$ : Die Funktion wechselt von $fallend zu steigend$ . Das Vorzeichen von $f'(x)$ wechselt von $negativ (-) zu positiv (+)$ , wie am tiefsten Punkt eines Tals.
$Kein lokales Extremum$ : Wenn das Vorzeichen von $f'(x)$ gleich bleibt, liegt weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum vor. Die Stelle kann ein stationärer Wendepunkt sein, doch dafür muss sich zusätzlich die Krümmung ändern.

Die folgende Darstellung zeigt die waagerechten Tangenten an einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum.

Visualisierung des ersten Ableitungstests

Die horizontalen Hilfslinien zeigen, wo die Steigung am lokalen Maximum und am lokalen Minimum null ist.

Extremwerte einer kubischen Funktion durch Vorzeichen prüfen

Bestimme die stationären Werte von $f(x) = x(x-3)^2$ mit dem ersten Ableitungstest.

$Lösung$ :

$Schritt 1$ : Erste Ableitung bestimmen

Zunächst multiplizieren wir die Funktion aus: $f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

Damit lautet die Ableitung:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

$Schritt 2$ : Stationäre Stellen bestimmen

Setze $f'(x) = 0$ .

3x^2 - 12x + 9 = 0

Die stationären Punkte liegen bei $x = 1$ und $x = 3$ .

$Schritt 3$ : Vorzeichen in der Umgebung prüfen

$x = 1$ : Links davon, also für $x < 1$ (zum Beispiel $x=0$ ), ist $f'(0) = 9$ positiv. Rechts davon, also für $1 < x < 3$ (zum Beispiel $x=2$ ), ist $f'(2) = -3$ negativ. Der Wechsel von (+) nach (-) zeigt: Bei $x=1$ liegt ein Hochpunkt.
$x = 3$ : Links davon, also für $1 < x < 3$ (zum Beispiel $x=2$ ), ist $f'(2) = -3$ negativ. Rechts davon, also für $x > 3$ (zum Beispiel $x=4$ ), ist $f'(4) = 9$ positiv. Der Wechsel von (-) nach (+) zeigt: Bei $x=3$ liegt ein Tiefpunkt.

$Schritt 4$ : Funktionswerte berechnen

Für die zugehörigen $y$ -Werte setzen wir die stationären $x$ -Koordinaten ( $x = 1$ und $x = 3$ ) in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein.

Lokaler Maximalwert: $f(1) = 1(1-3)^2 = 4$ .
Lokaler Minimalwert: $f(3) = 3(3-3)^2 = 0$ .

Damit ist $4$ der lokale Maximalwert am Hochpunkt $(1,4)$ . Der lokale Minimalwert $0$ liegt am Tiefpunkt $(3,0)$ .

Visualisierung von Extrempunkten

Die Kurve

f(x) = x(x-3)^2

mit waagerechten Tangenten an ihrem Hoch- und Tiefpunkt.

Zweiter Ableitungstest

Angenommen, $f'(c) = 0$ und $f''$ ist auf einem Intervall um $c$ stetig.

Wenn $f''(c) < 0$ , ist $f(c)$ ein $lokaler Maximalwert$ . Der Graph ist dort nach unten gekrümmt, wie eine umgedrehte Schüssel.
Wenn $f''(c) > 0$ , ist $f(c)$ ein $lokaler Minimalwert$ . Der Graph ist dort nach oben gekrümmt, wie eine offene Schüssel.
Wenn $f''(c) = 0$ , ist der Test $nicht entscheidend$ . Dann verwenden wir den ersten Ableitungstest oder ein anderes Argument. Die Stelle kann ein Maximum, ein Minimum, ein Wendepunkt oder keiner dieser Fälle sein.

Extremwerte einer kubischen Funktion durch Krümmung prüfen

Bestimme die Extremwerte von $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$ mit dem zweiten Ableitungstest.

$Lösung$ :

$Schritt 1$ : Erste und zweite Ableitung bestimmen

f'(x) = x^2 - 2x - 3

$Schritt 2$ : Stationäre Stellen bestimmen

x^2 - 2x - 3 = 0

Die stationären Punkte liegen bei $x = 3$ und $x = -1$ .

$Schritt 3$ : Zweite Ableitung auswerten

Für $x = 3$ : $f''(3) = 2(3) - 2 = 4$ . Da $4 > 0$ gilt, liegt dort ein $lokales Minimum$ .
Für $x = -1$ : $f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4$ . Da $-4 < 0$ gilt, liegt dort ein $lokales Maximum$ .

$Schritt 4$ : Extremwerte berechnen

Setze $x=3$ und $x=-1$ in die ursprüngliche Funktion ein.

Lokaler Minimalwert: $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$ .
Lokaler Maximalwert: $f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 2 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 2 = \frac{11}{3}$ .

Die Kurve ist am Punkt $x=-1$ nach unten und am Punkt $x=3$ nach oben gekrümmt.

Visualisierung des zweiten Ableitungstests

Der Graph von

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2

. Die Hilfslinien markieren das Maximum bei

x=-1

, wo der Graph nach unten gekrümmt ist, und das Minimum bei

x=3

, wo er nach oben gekrümmt ist.

Übungen

Bestimme den stationären Punkt der Funktion $y = x^2 + 2x - 3$ .

Ausführliche Lösung

$Lösung$ :

$Schritt 1$ : Bestimme die erste Ableitung

$f'(x) = 2x + 2$

$Schritt 2$ : Bestimme die stationäre Stelle

Setze $f'(x) = 0$ .

$2x + 2 = 0 \implies x = -1$

$Schritt 3$ : Bestimme den $y$ -Wert

Setze $x = -1$ in die ursprüngliche Funktion ein.

$\begin{aligned} y &= (-1)^2 + 2(-1) - 3 \\ &= 1 - 2 - 3 \\ &= -4 \end{aligned}$

Der stationäre Punkt ist somit $(-1, -4)$ . Da beim zweiten Ableitungstest $f''(x)=2 > 0$ gilt, liegt dort ein Minimum vor.