For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Im Alltag suchen wir oft nach einem bestmöglichen Wert, etwa dem größten Gewinn, den geringsten Kosten oder der kürzesten Entfernung. In der Mathematik heißen solche Werte Extremwerte. Dazu gehören Maximalwerte und Minimalwerte; die zugehörigen Punkte nennt man Extrempunkte.
Ein lokaler Extrempunkt im Inneren des Definitionsbereichs einer differenzierbaren Funktion ist ein stationärer Punkt mit . Allgemeiner können lokale Extrempunkte auch dort auftreten, wo die Ableitung nicht definiert ist, oder an einem Randpunkt des Definitionsbereichs. Ein stationärer Punkt ist daher nur ein Kandidat und keine Garantie für ein lokales Extremum. Diese Lektion behandelt differenzierbare stationäre Punkte und klassifiziert sie mit dem ersten und zweiten Ableitungstest.
Beim ersten Ableitungstest betrachten wir, ob die Funktion links und rechts von einer stationären Stelle steigt oder fällt. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel von .
Lokales Maximum (Hochpunkt): Die Funktion wechselt von steigend zu fallend. Das Vorzeichen von wechselt von positiv (+) zu negativ (-), wie an einem Berggipfel.
Lokales Minimum (Tiefpunkt): Die Funktion wechselt von fallend zu steigend. Das Vorzeichen von wechselt von negativ (-) zu positiv (+), wie am tiefsten Punkt eines Tals.
Kein lokales Extremum: Wenn das Vorzeichen von gleich bleibt, liegt weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum vor. Die Stelle kann ein stationärer Wendepunkt sein, doch dafür muss sich zusätzlich die Krümmung ändern.
Die folgende Darstellung zeigt die waagerechten Tangenten an einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum.
Wenden wir den Test auf ein Beispiel an. Gesucht sind die stationären Werte der Funktion .
Lösung:
Schritt : Erste Ableitung bestimmen
Zunächst multiplizieren wir die Funktion aus: .
Damit lautet die Ableitung:
Schritt : Stationäre Stellen bestimmen
Setze .
Die stationären Punkte liegen bei und .
Schritt : Vorzeichen in der Umgebung prüfen
Um : Links davon, also für (zum Beispiel ), ist positiv. Rechts davon, also für (zum Beispiel ), ist negativ. Der Wechsel von (+) nach (-) zeigt: Bei liegt ein Hochpunkt.
Um : Links davon, also für (zum Beispiel ), ist negativ. Rechts davon, also für (zum Beispiel ), ist positiv. Der Wechsel von (-) nach (+) zeigt: Bei liegt ein Tiefpunkt.
Schritt : Funktionswerte berechnen
Für die zugehörigen -Werte setzen wir die stationären -Koordinaten ( und ) in die ursprüngliche Funktion ein.
Lokaler Maximalwert: .
Lokaler Minimalwert: .
Damit ist der lokale Maximalwert am Hochpunkt . Der lokale Minimalwert liegt am Tiefpunkt .
Dieser Test ist oft schneller, weil wir keine Nachbarintervalle prüfen müssen. Er verwendet die zweite Ableitung , um die Krümmung des Graphen an einer stationären Stelle zu bestimmen.
Angenommen, und ist auf einem Intervall um stetig.
Wenn , ist ein lokaler Maximalwert. Der Graph ist dort nach unten gekrümmt, wie eine umgedrehte Schüssel.
Wenn , ist ein lokaler Minimalwert. Der Graph ist dort nach oben gekrümmt, wie eine offene Schüssel.
Wenn , ist der Test nicht entscheidend. Dann verwenden wir den ersten Ableitungstest oder ein anderes Argument; die Stelle kann ein Maximum, ein Minimum, ein Wendepunkt oder keiner dieser Fälle sein.
Bestimme die Extremwerte von mit dem zweiten Ableitungstest.
Lösung:
Schritt : Erste und zweite Ableitung bestimmen
Schritt : Stationäre Stellen bestimmen
Die stationären Punkte liegen bei und .
Schritt : Zweite Ableitung auswerten
Für : . Da gilt, liegt dort ein lokales Minimum.
Für : . Da gilt, liegt dort ein .
Schritt : Extremwerte berechnen
Setze und in die ursprüngliche Funktion ein.
Lokaler Minimalwert: .
Lokaler Maximalwert: .
Wenn wir uns die Visualisierung unten ansehen, ist die Kurve am Punkt nach unten konkav und am Punkt nach oben konkav.
Lösung:
Schritt : Bestimme die erste Ableitung
Schritt : Bestimme die stationäre Stelle
Setze .
Schritt : Bestimme den -Wert
Setze in die ursprüngliche Funktion ein.
Der stationäre Punkt ist somit . Da beim zweiten Ableitungstest gilt, liegt dort ein Minimum vor.
