Ableitungen schreiben

Schreibweisen nach Leibniz und Lagrange unterscheiden

Eine Ableitung beschreibt, wie sich eine Größe in Bezug auf eine andere verändert. Dafür gibt es mehrere Schreibweisen, und zwei davon begegnen dir bei Funktionen besonders oft: die Leibniz-Notation und die Strichnotation nach Lagrange.

Diese Bezeichnungen sollte man auseinanderhalten. Das Strichzeichen in $f'(x)$ geht auf Joseph-Louis Lagrange zurück. Isaac Newton verwendete dagegen die Punktnotation, etwa $\dot{x}$, vor allem für zeitabhängige Größen. Die Symbole sehen unterschiedlich aus, können aber jeweils eine Ableitung beschreiben, wenn Variable und Kontext klar sind.

Zwei gebräuchliche Ableitungsnotationen

Beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Ableitung. Die Leibniz-Notation nennt die veränderliche Größe und die Ableitungsvariable. Die Lagrange-Notation setzt Striche an den Funktionsnamen und hält dadurch wiederholte Ableitungen kurz.

Notation nach Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz führte eine Notation ein, in der die Variablen ausdrücklich genannt werden. Für $y = f(x)$ kann man die Ableitung so schreiben:

Wir lesen $\frac{dy}{dx}$ als „Ableitung von $y$ nach $x$“. Der Zähler nennt die veränderliche Größe, der Nenner die Bezugsvariable. Dieser Unterschied kennzeichnet die Ableitungsvariable, wenn eine Aufgabe mehrere voneinander abhängige Variablen enthält.

Strichnotation nach Lagrange

Bei der Strichnotation nach Lagrange kennzeichnet ein Strich die Ableitung. Für $y = f(x)$ kann man schreiben:

Wir lesen dies als „$y$ Strich“ und „$f$ Strich von $x$“. Die Schreibweise ist kurz und praktisch, wenn die unabhängige Variable bereits feststeht. Bei jeder weiteren Ableitung kommt ein zusätzlicher Strich hinzu. Die zweite Ableitung lautet deshalb $f''(x)$.

Die passende Notation wählen

Die Strichnotation nach Lagrange, etwa $f'(x)$, eignet sich, wenn Funktion und unabhängige Variable eindeutig sind. Sie hält gewöhnliche Rechnungen kurz und übersichtlich.

Die Leibniz-Notation, etwa $\frac{dy}{dx}$, eignet sich für Aufgaben mit mehreren Variablen. Der Nenner $dx$ gibt an, dass nach $x$ abgeleitet wird, etwa bei der Kettenregel, bei zusammenhängenden Änderungsraten und in der mehrdimensionalen Analysis.

Mit beiden Schreibweisen rechnen

Nimm $y=f(x)=x^3-2x$. Nach der Potenzregel ist die Ableitung von $x^3$ gleich $3x^2$ und die Ableitung von $-2x$ gleich $-2$. Beide Schreibweisen geben dieselbe Rechnung wieder:

Unterscheide die Ableitungsfunktion von der Ableitung an einer Stelle. Um die Steigung bei $x=2$ zu bestimmen, setzt du diesen Wert in die Ableitungsfunktion ein.

Der senkrechte Strich in der Leibniz-Notation bedeutet, dass die Ableitung an der Stelle $x=2$ ausgewertet wird. Sowohl $f'(2)$ als auch $\left.\frac{dy}{dx}\right\rvert_{x=2}$ stehen deshalb für die Zahl $10$.

In der letzten Zeile leiten wir $3x^2-2$ noch einmal ab. Die Hochzahlen in der Leibniz-Notation kennzeichnen zweimaliges Ableiten. Sie bedeuten nicht, dass die erste Ableitung quadriert wird.