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Planetenbahnen um die Sonne und der schräge Schatten eines Kreises erinnern an dieselbe Form: eine Ellipse. Sie ist jedoch mehr als ein „abgeflachter“ Kreis. Ihre Form folgt einer genauen geometrischen Bedingung.
Eine Ellipse besteht aus allen Punkten, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist. Diese beiden festen Punkte heißen Brennpunkte. Das lässt sich mit zwei Nägeln, einer geschlossenen Schnur und einem Stift nachvollziehen: Die Schnur wird an den Nägeln befestigt und mit dem Stift gespannt. Fährt der Stift einmal herum, zeichnet er eine Ellipse.
In der Grafik liegt P auf der Ellipse. Sein Abstand zu F1, bezeichnet mit r1, und sein Abstand zu F2, bezeichnet mit r2, ergeben zusammen für jeden Ellipsenpunkt dieselbe Länge. Genau das ist das grundlegende Merkmal einer Ellipse.
Bevor die Gleichungen folgen, ordnen wir die Bestandteile einer Ellipse. Jeder davon beschreibt einen anderen Aspekt ihrer Lage oder Form.
Die wichtigsten Bestandteile sind:
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Der Mittelpunkt ist das Zentrum der Ellipse und wird häufig mit O bezeichnet. Von ihm aus werden die Halbachsen und Brennpunktabstände gemessen.
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Die Brennpunkte F1 und F2 sind die beiden festen Bezugspunkte der Ellipsendefinition. Ihr Abstand voneinander beträgt 2c.
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Die Hauptachse ist die längere Symmetrieachse. Sie verläuft durch Mittelpunkt und Brennpunkte und endet in A1 und A2.
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Die Nebenachse ist die kürzere Symmetrieachse. Sie steht senkrecht auf der Hauptachse und endet in B1 und B2.
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Die große Halbachse a ist die halbe Hauptachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Hauptscheitel.
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Die kleine Halbachse b ist die halbe Nebenachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Nebenscheitel.
Für eine echte Ellipse gilt a>b. Im Grenzfall a=b fallen beide Halbachsen zusammen und die Kurve ist ein Kreis.
Die Gleichungsform hängt davon ab, wo der Mittelpunkt liegt und ob die Hauptachse horizontal oder vertikal verläuft.
Liegt der Mittelpunkt bei O(0,0), gibt es zwei mögliche Ausrichtungen:
Verläuft die Hauptachse parallel zur x-Achse, lautet die Ellipsengleichung:
mit der Bedingung a>b.
Verläuft die Hauptachse parallel zur y-Achse, lautet die Ellipsengleichung:
mit der Bedingung a>b.
Liegt der Mittelpunkt im Punkt (h,k) statt im Ursprung, entstehen die verschobenen Formen:
Die folgende Grafik zeigt ein Beispiel:
Zwischen den drei charakteristischen Längen gilt stets:
Dabei ist c der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt.
Die Exzentrizität einer Ellipse ist definiert als:
Für eine nicht kreisförmige Ellipse gilt 0<e<1. Je näher e an 0 liegt, desto stärker nähert sich die Form einem Kreis. Je näher e an 1 liegt, desto gestreckter ist sie. Der Kreis als Grenzfall hat e=0.
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Bestimme die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt (0,0), Hauptachsenlänge 12, Nebenachsenlänge 8 und horizontaler Hauptachse.
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Gegeben ist die Ellipse 25x2+16y2=1. Bestimme ihre Brennpunkte und ihre Exzentrizität.
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Eine Ellipse hat den Mittelpunkt (3,−1), die Brennpunkte (3,2) und (3,−4) sowie die Nebenachsenlänge 6. Bestimme ihre Gleichung.
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Bestimme die Gleichung einer Ellipse, die durch (4,3) und (6,2) verläuft, den Mittelpunkt (0,0) hat und deren Hauptachse horizontal liegt.
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Lösung:
Gegeben sind:
- Mittelpunkt (0,0)
- Hauptachsenlänge 12, daher 2a=12 und a=6
- Nebenachsenlänge 8, daher 2b=8 und b=4
- Horizontale Hauptachse
Ellipsengleichung mit horizontaler Hauptachse:
Nach dem Einsetzen von a=6 und b=4 folgt:
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Lösung:
Aus der Gleichung 25x2+16y2=1 lesen wir ab:
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Lösung:
Gegeben sind:
- Mittelpunkt: (3,−1)
- Brennpunkte: (3,2) und (3,−4)
- Nebenachsenlänge 6, daher und
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Lösung:
Eine Ellipse mit Mittelpunkt (0,0) und horizontaler Hauptachse hat die Gleichung:
- a2=25, daher a=5
- b2=16, daher b=4
Weil a2>b2 gilt, ist die Hauptachse horizontal.
Die Brennpunkte liegen bei (±3,0), also bei (−3,0) und (3,0).
Da die Brennpunkte die gleichen x-Koordinaten (x=3) haben, ist die Hauptachse vertikal.
Daher gilt 2c=6 und somit c=3.
Mit c2=a2−b2 bestimmen wir a:
Ellipsengleichung mit Mittelpunkt (h,k)=(3,−1) und vertikaler Hauptachse:
Einsetzen des Punkts (4,3):
Einsetzen des Punkts (6,2):
Mit u=a21 und v=b21 wird daraus ein lineares Gleichungssystem:
Aus Gleichung (1) folgt v=91−16u.
Dies setzen wir in Gleichung (2) ein:
Folglich ist a2=52.
Damit ist b2=13.
Die gesuchte Ellipsengleichung lautet 52x2+13y2=1.
