Ellipse

Eine Ellipse mit zwei Brennpunkten zeichnen

Eine Ellipse kann in einer Planetenbahn oder im Schatten eines schräg beleuchteten Kreises auftreten. Ihre geometrische Definition verwendet die Abstände zu zwei festen Punkten.

Eine Ellipse besteht aus allen Punkten, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist. Diese beiden festen Punkte heißen Brennpunkte. Das lässt sich mit zwei Nägeln, einer geschlossenen Schnur und einem Stift nachvollziehen: Die Schnur wird an den Nägeln befestigt und mit dem Stift gespannt. Fährt der Stift einmal herum, zeichnet er eine Ellipse.

In der Grafik liegt $P$ auf der Ellipse. Sein Abstand zu $F_1$, bezeichnet mit $r_1$, und sein Abstand zu $F_2$, bezeichnet mit $r_2$, ergeben zusammen für jeden Ellipsenpunkt dieselbe Länge. Genau das ist das grundlegende Merkmal einer Ellipse.

Bestandteile einer Ellipse

Bevor die Gleichungen folgen, ordnen wir die Bestandteile einer Ellipse. Jeder davon beschreibt einen anderen Aspekt ihrer Lage oder Form.

Die wichtigsten Bestandteile sind:

1. Der Mittelpunkt ist das Zentrum der Ellipse und wird häufig mit $O$ bezeichnet. Von ihm aus werden die Halbachsen und Brennpunktabstände gemessen.

2. Die Brennpunkte $F_1$ und $F_2$ sind die beiden festen Bezugspunkte der Ellipsendefinition. Ihr Abstand voneinander beträgt $2c$.

3. Die Hauptachse ist der längste Durchmesser, also eine Strecke mit beiden Endpunkten auf der Ellipse. Sie verläuft durch Mittelpunkt und Brennpunkte und endet in $A_1$ und $A_2$.

4. Die Nebenachse ist der kürzeste Durchmesser, also eine Strecke durch den Mittelpunkt mit beiden Endpunkten auf der Ellipse. Sie steht senkrecht auf der Hauptachse und endet in $B_1$ und $B_2$.

5. Die große Halbachse $a$ ist die halbe Hauptachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Hauptscheitel.

6. Die kleine Halbachse $b$ ist die halbe Nebenachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Nebenscheitel.

Für eine echte Ellipse gilt $a > b > 0$. Im Grenzfall $a = b$ fallen beide Halbachsen zusammen und die Kurve ist ein Kreis.

Ellipsengleichungen

Die Gleichungsform hängt davon ab, wo der Mittelpunkt liegt und ob die Hauptachse horizontal oder vertikal verläuft. Den Mittelpunkt liest du an den Zahlen ab, die in den Klammern subtrahiert werden, die Richtung an dem quadratischen Term mit dem größeren Nenner.

Von den Abständen zur Gleichung

Lege die Brennpunkte auf $(-c,0)$ und $(c,0)$ mit $a > c > 0$. Für einen Punkt $P(x,y)$ nennen wir die Abstände zum linken und rechten Brennpunkt $d_1$ und $d_2$. Ihre konstante Summe schreiben wir als $2a$.

Quadriere $d_1=2a-d_2$. Bei der Differenz der quadrierten Abstände bleibt der Term $4cx$.

Setze die Abstandsformel für $d_2$ ein, quadriere und fasse gleichartige Terme zusammen.

Wegen $a^2-c^2 > 0$ können wir $b^2=a^2-c^2$ setzen und beide Seiten durch $a^2b^2$ teilen. So entsteht die Normalform der Ellipsengleichung.

Mittelpunkt im Ursprung

Liegt der Mittelpunkt bei $O(0,0)$, gibt es zwei mögliche Ausrichtungen:

Verläuft die Hauptachse parallel zur $x$-Achse, lautet die Ellipsengleichung:

Diese Gleichung gilt für $a > b > 0$.

Verläuft die Hauptachse parallel zur $y$-Achse, lautet die Ellipsengleichung:

Diese Gleichung gilt für $a > b > 0$.

Verschobener Mittelpunkt

Liegt der Mittelpunkt im Punkt $(h, k)$ statt im Ursprung, entstehen die verschobenen Formen:

Bei horizontaler Hauptachse:

Bei vertikaler Hauptachse:

Die folgende Grafik zeigt ein Beispiel:

Beziehungen zwischen den Ellipsenlängen

Zwischen den drei charakteristischen Längen gilt stets:

Dabei ist $c$ der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt.

Die Exzentrizität einer Ellipse ist definiert als:

Für eine nicht kreisförmige Ellipse gilt $0 < e < 1$. Je näher $e$ an $0$ liegt, desto stärker nähert sich die Form einem Kreis. Je näher $e$ an $1$ liegt, desto gestreckter ist sie. Der Kreis als Grenzfall hat $e = 0$.

Übungen

Die Aufgaben geben unterschiedliche Größen vor. Unterscheide volle Achsenlängen von Halbachsen und nutze dann die Brennpunkte oder Punkte auf der Kurve, um fehlende Parameter zu bestimmen.

1. Bestimme die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt $(0,0)$, Hauptachsenlänge $12$, Nebenachsenlänge $8$ und horizontaler Hauptachse.

2. Gegeben ist die Ellipse $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. Bestimme ihre Brennpunkte und ihre Exzentrizität.

3. Eine Ellipse hat den Mittelpunkt $(3, -1)$, die Brennpunkte $(3, 2)$ und $(3, -4)$ sowie die Nebenachsenlänge $6$. Bestimme ihre Gleichung.

4. Bestimme die Gleichung einer Ellipse, die durch $(4, 3)$ und $(6, 2)$ verläuft, den Mittelpunkt $(0, 0)$ hat und deren Hauptachse horizontal liegt.

Lösungen

Lösung 1:

Gegeben sind:

• Mittelpunkt $(0,0)$
• Hauptachsenlänge $12$, daher $2a = 12$ und $a = 6$
• Nebenachsenlänge $8$, daher $2b = 8$ und $b = 4$
• Horizontale Hauptachse

Ellipsengleichung mit horizontaler Hauptachse:

Nach dem Einsetzen von $a = 6$ und $b = 4$ folgt:

Lösung 2:

Aus der Gleichung $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ lesen wir ab:

• $a^2 = 25$, daher $a = 5$
• $b^2 = 16$, daher $b = 4$

Weil $a^2 > b^2$ gilt, ist die Hauptachse horizontal.

Nun berechnen wir $c$:

Die Brennpunkte liegen bei $(\pm 3, 0)$, also bei $(-3, 0)$ und $(3, 0)$.

Exzentrizität:

Lösung 3:

Gegeben sind:

• Mittelpunkt: $(3, -1)$
• Brennpunkte: $(3, 2)$ und $(3, -4)$
• Nebenachsenlänge $6$, daher $2b = 6$ und $b = 3$

Da die Brennpunkte die gleichen $x$-Koordinaten ($x = 3$) haben, ist die Hauptachse vertikal.

Daher gilt $2c = 6$ und somit $c = 3$.

Mit $c^2 = a^2-b^2$ bestimmen wir $a$:

Ellipsengleichung mit Mittelpunkt $(h,k) = (3,-1)$ und vertikaler Hauptachse:

Lösung 4:

Eine Ellipse mit Mittelpunkt $(0,0)$ und horizontaler Hauptachse hat die Gleichung:

Einsetzen des Punkts $(4,3)$:

Einsetzen des Punkts $(6,2)$:

Mit $u = \frac{1}{a^2}$ und $v = \frac{1}{b^2}$ wird daraus ein lineares Gleichungssystem:

Aus Gleichung (1) folgt $v = \frac{1-16u}{9}$.

Dies setzen wir in Gleichung (2) ein:

Folglich ist $a^2 = 52$.

Rückeinsetzen liefert:

Damit ist $b^2 = 13$.

Die gesuchte Ellipsengleichung lautet $\frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13} = 1$.