Eine Ellipse kann in einer Planetenbahn oder im Schatten eines schräg beleuchteten Kreises auftreten. Ihre geometrische Definition verwendet die Abstände zu zwei festen Punkten.
Eine Ellipse besteht aus allen Punkten, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist. Diese beiden festen Punkte heißen . Das lässt sich mit zwei Nägeln, einer geschlossenen Schnur und einem Stift nachvollziehen: Die Schnur wird an den Nägeln befestigt und mit dem Stift gespannt. Fährt der Stift einmal herum, zeichnet er eine Ellipse.
Brennpunkte
Grundlegendes Ellipsenkonzept
Ellipse mit zwei Brennpunkten und mehreren Punkten, die eine konstante Summe der Entfernungen zeigen.
In der Grafik liegt P auf der Ellipse. Sein Abstand zu F1, bezeichnet mit r1, und sein Abstand zu F2, bezeichnet mit r2, ergeben zusammen für jeden Ellipsenpunkt dieselbe Länge. Genau das ist das grundlegende Merkmal einer Ellipse.
Bevor die Gleichungen folgen, ordnen wir die Bestandteile einer Ellipse. Jeder davon beschreibt einen anderen Aspekt ihrer Lage oder Form.
Ellipsenkomponenten
Mittelpunkt, Brennpunkte, Scheitel sowie Haupt- und Nebenachse einer Ellipse mit horizontaler Hauptachse.
Die wichtigsten Bestandteile sind:
Der Mittelpunkt ist das Zentrum der Ellipse und wird häufig mit O bezeichnet. Von ihm aus werden die Halbachsen und Brennpunktabstände gemessen.
Die BrennpunkteF1 und F2 sind die beiden festen Bezugspunkte der Ellipsendefinition. Ihr Abstand voneinander beträgt 2c.
Die Hauptachse ist der längste Durchmesser, also eine Strecke mit beiden Endpunkten auf der Ellipse. Sie verläuft durch Mittelpunkt und Brennpunkte und endet in A1 und A2.
Die Nebenachse ist der kürzeste Durchmesser, also eine Strecke durch den Mittelpunkt mit beiden Endpunkten auf der Ellipse. Sie steht senkrecht auf der Hauptachse und endet in B1 und B2.
Die große Halbachsea ist die halbe Hauptachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Hauptscheitel.
Die kleine Halbachseb ist die halbe Nebenachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Nebenscheitel.
Für eine echte Ellipse gilt a>b>0. Im Grenzfall a=b fallen beide Halbachsen zusammen und die Kurve ist ein Kreis.
Die Gleichungsform hängt davon ab, wo der Mittelpunkt liegt und ob die Hauptachse horizontal oder vertikal verläuft. Den Mittelpunkt liest du an den Zahlen ab, die in den Klammern subtrahiert werden, die Richtung an dem quadratischen Term mit dem größeren Nenner.
Lege die Brennpunkte auf (−c,0) und (c,0) mit a>c>0. Für einen Punkt P(x,y) nennen wir die Abstände zum linken und rechten Brennpunkt d1 und d2. Ihre konstante Summe schreiben wir als 2a.
d1=(x+c)2+y2,d2=(x−c)2+y2
d1+d2=2a
Quadriere d1=2a−d2. Bei der Differenz der quadrierten Abstände bleibt der Term 4cx.
d12−d224cxad2=4a2−4ad2=4a2−4ad2=a2−cx
Setze die Abstandsformel für d2 ein, quadriere und fasse gleichartige Terme zusammen.
Zwischen den drei charakteristischen Längen gilt stets:
c2=a2−b2
Dabei ist c der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt.
Die Exzentrizität einer Ellipse ist definiert als:
e=ac
Für eine nicht kreisförmige Ellipse gilt 0<e<1. Je näher e an 0 liegt, desto stärker nähert sich die Form einem Kreis. Je näher e an 1 liegt, desto gestreckter ist sie. Der Kreis als Grenzfall hat e=0.
Die Aufgaben geben unterschiedliche Größen vor. Unterscheide volle Achsenlängen von Halbachsen und nutze dann die Brennpunkte oder Punkte auf der Kurve, um fehlende Parameter zu bestimmen.
Bestimme die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt (0,0), Hauptachsenlänge 12, Nebenachsenlänge 8 und horizontaler Hauptachse.
Gegeben ist die Ellipse 25x2+16y2=1. Bestimme ihre Brennpunkte und ihre Exzentrizität.
Eine Ellipse hat den Mittelpunkt (3,−1), die Brennpunkte (3,2) und (3,−4) sowie die Nebenachsenlänge 6. Bestimme ihre Gleichung.
Bestimme die Gleichung einer Ellipse, die durch (4,3) und (6,2) verläuft, den Mittelpunkt (0,0) hat und deren Hauptachse horizontal liegt.
