Definition des Kreises

Punkte mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt den gleichen Abstand haben. Dieser feste Punkt heißt Kreismittelpunkt. Der gemeinsame Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Punkt auf dem Kreis heißt Radius.

Das lässt sich mit einer Schnur veranschaulichen: Ein Ende wird an einem Nagel befestigt, die Schnur straff gezogen und das andere Ende einmal um den Nagel geführt. Die gezeichnete Kurve ist der Kreis, der Nagel sein Mittelpunkt und die Schnurlänge sein Radius.

In der Darstellung ist $P$ der Mittelpunkt. Die Punkte $A$, $B$ und $C$ liegen auf dem Kreis. Die drei Abstände $PA$, $PB$ und $PC$ sind jeweils gleich $r$. Genau diese gemeinsame Entfernung legt alle drei Punkte auf denselben Kreis.

Kreis als Punkte mit festem Abstand

Nun formulieren wir den Gedanken präzise. Ein Kreis mit Mittelpunkt $P(a, b)$ und Radius $r>0$ ist die Menge aller Punkte $(x, y)$, für die gilt:

Dabei ist $d(P, (x,y))$ der Abstand vom Mittelpunkt $P$ zum Punkt $(x, y)$ auf dem Kreis.

Mit der Abstandsformel im kartesischen Koordinatensystem wird daraus:

Kreisgleichung

Aus der obigen mathematischen Definition können wir die Kreisgleichung durch Quadrieren beider Seiten ableiten:

Dies ist die Standardform der Kreisgleichung mit Mittelpunkt $(a, b)$ und Radius $r$. Vergleiche für einen Punkt $(x,y)$ den Wert $(x-a)^2+(y-b)^2$ mit $r^2$. Ist der erste Wert kleiner, liegt der Punkt im Kreisinneren. Bei gleichen Werten liegt er auf dem Kreis, bei einem größeren ersten Wert außerhalb.

Für den Kreis in der obigen Visualisierung lautet die Gleichung:

Sonderform der Kreisgleichung

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung $(0, 0)$, entfallen beide Verschiebungsterme und die Gleichung wird zu:

Diese kürzere Form gilt immer dann, wenn der Mittelpunkt bereits als Ursprung feststeht.

Grundelemente eines Kreises

Drei geometrische Elemente tauchen in Kreisaufgaben immer wieder auf:

1. Kreismittelpunkt ist der feste Punkt, der als Referenz für alle Punkte auf dem Kreis dient. Alle Punkte auf dem Kreis haben den gleichen Abstand zu diesem Mittelpunkt.

2. Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis. In einem Kreis haben alle Radien die gleiche Länge.

3. Durchmesser ist eine Strecke, die zwei Punkte auf dem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Ihre Länge ist doppelt so groß wie der Radius, also $d = 2r$.

Die Darstellung zeigt, dass Radius und Durchmesser durch denselben Mittelpunkt verlaufen:

Gleichung aus Mittelpunkt und Radius bestimmen

Setze den gegebenen Mittelpunkt und Radius in die Standardform ein.

Beispiel: Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $(3, -2)$ und Radius $5$.

Lösung: Wir setzen Mittelpunkt und Radius in die Standardform ein:

Die Kreisgleichung lautet also $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$.

Prüfe den Punkt $(8,-2)$. Er liegt $5$ Einheiten rechts vom Mittelpunkt. Das Einsetzen seiner Koordinaten muss das Quadrat des Radius ergeben: