Kreisgleichung

Mittelpunkt und Radius in einer Gleichung beschreiben

Eine Kreisgleichung beschreibt jeden Punkt eines Kreises in der Koordinatenebene. Beim Zeichnen mit einem Zirkel legt die Nadel den Mittelpunkt fest, die Öffnung bestimmt den Radius und der Stift zeichnet genau die Punkte nach, welche die Gleichung erfüllen.

Die Kreisgleichung enthält die Koordinaten des $Mittelpunkts$ und den $Radius$ . Beide lassen sich daher bestimmen, ohne den Kreis zuerst zu zeichnen.

Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung $O(0,0)$ .

Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt bei $O(0,0)$ und Radius $r>0$ haben, dann hat jeder Punkt $(x,y)$ auf diesem Kreis den gleichen Abstand vom Mittelpunkt, nämlich $r$ .

Mit der Abstandsformel erhalten wir:

\sqrt{x^2 + y^2} = r

Wenn wir $beide Seiten quadrieren$ , erhalten wir die Kreisgleichung mit Mittelpunkt im Ursprung:

x^2 + y^2 = r^2

Die Grafik zeigt, dass jeder Punkt denselben Abstand vom Mittelpunkt hat.

Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung

Kreis mit dem Mittelpunkt

O(0,0)

und dem Radius

3

Für den obigen Kreis lautet die Gleichung $x^2 + y^2 = 9$ , da der Radius $3$ beträgt, also $r^2 = 3^2 = 9$ .

Kreis mit beliebigem Mittelpunkt

Für einen Kreis mit Mittelpunkt $P(a,b)$ sei der Radius $r$ .

Jeder Punkt $(x,y)$ auf diesem Kreis muss den gleichen Abstand $r$ vom Mittelpunkt $P(a,b)$ haben. Mit der Abstandsformel:

\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r

Nach dem Quadrieren erhalten wir die $Standardform eines Kreises mit beliebigem Mittelpunkt$ :

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Die Verschiebung des Mittelpunkts ist in der folgenden Grafik zu sehen.

Kreis mit beliebigem Mittelpunkt

Kreis mit dem Mittelpunkt

P(2,-1)

und dem Radius

2

Die Gleichung des obigen Kreises lautet $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 4$ , weil der Mittelpunkt $P(2,-1)$ und der Radius $2$ ist, also $r^2 = 2^2 = 4$ .

Allgemeine Form der Kreisgleichung

Manchmal liegen Kreisgleichungen bereits in allgemeiner Form vor. Wenn wir beispielsweise die Gleichung $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ ausmultiplizieren:

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9

Diese letzte Form wird $allgemeine Form der Kreisgleichung$ genannt:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Eine Gleichung in allgemeiner Form lässt sich durch $Quadratvervollständigung$ wieder in die Standardform umwandeln.

Nicht alle Gleichungen der Form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ beschreiben einen nicht entarteten reellen Kreis. Dafür muss $D^2 + E^2 - 4F > 0$ gelten. Ist der Wert null, bleibt nur ein einzelner Punkt. Ist er negativ, erfüllt kein reeller Punkt die Gleichung, sodass sie keinen reellen Kreis beschreibt.

Die Quadratvervollständigung zeigt, woher die Formeln für Mittelpunkt und Radius stammen:

x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}

Bestimmung von Mittelpunkt und Radius

Aus der $Standardform$ $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ können wir direkt erkennen:

Der Mittelpunkt liegt bei $(a,b)$ und der Radius beträgt $r$ (erhalten aus $r = \sqrt{r^2}$ ).

Aus der allgemeinen Form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ können wir Folgendes bestimmen:

\text{Mittelpunkt:} \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)

Übungsaufgaben

Wähle die Gleichungsform anhand der $gegebenen Informationen$ . Einen bekannten Mittelpunkt und Radius setzt du direkt in die Standardform ein. Bei gegebenen Durchmesserendpunkten berechnest du zuerst den Streckenmittelpunkt und die halbe Durchmesserlänge.

Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $(3,-2)$ und Radius $5$ .
Gegeben ist $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ . Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises.
Ein Kreis verläuft durch $(6,-8)$ und hat den Mittelpunkt $O(0,0)$ . Bestimme seine Gleichung.
Bestimme die Gleichung eines Kreises, dessen Durchmesser die Endpunkte $A(1,3)$ und $B(7,-1)$ hat.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Gegeben sind der Mittelpunkt $(a,b) = (3,-2)$ und der Radius $r = 5$ .

Wir setzen beide Werte in die $Standardform$ ein:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Die Kreisgleichung lautet also $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ .

$Lösung 2$ :

Aus der Gleichung $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ $ermitteln wir die Koeffizienten$ :

$D = -6$ , $E = 4$ , $F = -12$

\begin{aligned} &\text{Mittelpunkt:} \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) \\ &= \left(-\frac{(-6)}{2}, -\frac{4}{2}\right) \\ &= (3, -2) \end{aligned}

Der Kreismittelpunkt liegt also bei $(3,-2)$ mit dem Radius $5$ .

$Lösung 3$ :

Da der Kreis seinen Mittelpunkt bei $O(0,0)$ hat und durch den Punkt $(6,-8)$ verläuft, ist der Radius der $Abstand vom Mittelpunkt$ zu diesem Punkt.

\begin{aligned} r &= \sqrt{(6-0)^2 + (-8-0)^2} \\ &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Die Kreisgleichung: $x^2 + y^2 = r^2 = 10^2 = 100$

$Lösung 4$ :

Der Kreismittelpunkt ist der $Mittelpunkt des Durchmessers$ $AB$ :

\begin{aligned} &\text{Mittelpunkt} \\ &= \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \\ &= \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}\right) \\ &= (4, 1) \end{aligned}

Der Radius ist die halbe Durchmesserlänge:

\begin{aligned}AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\&=\sqrt{(7-1)^2+(-1-3)^2}\\&=\sqrt{6^2+(-4)^2}\\&=\sqrt{36+16}\\&=\sqrt{52}\\&=2\sqrt{13}\end{aligned}

Die Kreisgleichung: $(x-4)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

Mittelpunkt und Radius in einer Gleichung beschreiben

Die Kreisgleichung enthält die Koordinaten des $Mittelpunkts$ und den $Radius$ . Beide lassen sich daher bestimmen, ohne den Kreis zuerst zu zeichnen.

Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung $O(0,0)$ .

Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt bei $O(0,0)$ und Radius $r>0$ haben, dann hat jeder Punkt $(x,y)$ auf diesem Kreis den gleichen Abstand vom Mittelpunkt, nämlich $r$ .

Mit der Abstandsformel erhalten wir:

\sqrt{x^2 + y^2} = r

Wenn wir $beide Seiten quadrieren$ , erhalten wir die Kreisgleichung mit Mittelpunkt im Ursprung:

x^2 + y^2 = r^2

Die Grafik zeigt, dass jeder Punkt denselben Abstand vom Mittelpunkt hat.

Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung

Kreis mit dem Mittelpunkt

O(0,0)

und dem Radius

3

Für den obigen Kreis lautet die Gleichung $x^2 + y^2 = 9$ , da der Radius $3$ beträgt, also $r^2 = 3^2 = 9$ .

Kreis mit beliebigem Mittelpunkt

Für einen Kreis mit Mittelpunkt $P(a,b)$ sei der Radius $r$ .

Jeder Punkt $(x,y)$ auf diesem Kreis muss den gleichen Abstand $r$ vom Mittelpunkt $P(a,b)$ haben. Mit der Abstandsformel:

\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r

Nach dem Quadrieren erhalten wir die $Standardform eines Kreises mit beliebigem Mittelpunkt$ :

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Die Verschiebung des Mittelpunkts ist in der folgenden Grafik zu sehen.

Kreis mit beliebigem Mittelpunkt

Kreis mit dem Mittelpunkt

P(2,-1)

und dem Radius

2

Die Gleichung des obigen Kreises lautet $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 4$ , weil der Mittelpunkt $P(2,-1)$ und der Radius $2$ ist, also $r^2 = 2^2 = 4$ .

Allgemeine Form der Kreisgleichung

Manchmal liegen Kreisgleichungen bereits in allgemeiner Form vor. Wenn wir beispielsweise die Gleichung $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ ausmultiplizieren:

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9

Diese letzte Form wird $allgemeine Form der Kreisgleichung$ genannt:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Eine Gleichung in allgemeiner Form lässt sich durch $Quadratvervollständigung$ wieder in die Standardform umwandeln.

Nicht alle Gleichungen der Form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ beschreiben einen nicht entarteten reellen Kreis. Dafür muss $D^2 + E^2 - 4F > 0$ gelten. Ist der Wert null, bleibt nur ein einzelner Punkt. Ist er negativ, erfüllt kein reeller Punkt die Gleichung, sodass sie keinen reellen Kreis beschreibt.

Die Quadratvervollständigung zeigt, woher die Formeln für Mittelpunkt und Radius stammen:

x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}

Bestimmung von Mittelpunkt und Radius

Aus der $Standardform$ $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ können wir direkt erkennen:

Der Mittelpunkt liegt bei $(a,b)$ und der Radius beträgt $r$ (erhalten aus $r = \sqrt{r^2}$ ).

Aus der allgemeinen Form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ können wir Folgendes bestimmen:

\text{Mittelpunkt:} \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)

Übungsaufgaben

Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $(3,-2)$ und Radius $5$ .
Gegeben ist $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ . Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises.
Ein Kreis verläuft durch $(6,-8)$ und hat den Mittelpunkt $O(0,0)$ . Bestimme seine Gleichung.
Bestimme die Gleichung eines Kreises, dessen Durchmesser die Endpunkte $A(1,3)$ und $B(7,-1)$ hat.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Gegeben sind der Mittelpunkt $(a,b) = (3,-2)$ und der Radius $r = 5$ .

Wir setzen beide Werte in die $Standardform$ ein:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Die Kreisgleichung lautet also $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ .

$Lösung 2$ :

Aus der Gleichung $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ $ermitteln wir die Koeffizienten$ :

$D = -6$ , $E = 4$ , $F = -12$

\begin{aligned} &\text{Mittelpunkt:} \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) \\ &= \left(-\frac{(-6)}{2}, -\frac{4}{2}\right) \\ &= (3, -2) \end{aligned}

Der Kreismittelpunkt liegt also bei $(3,-2)$ mit dem Radius $5$ .

$Lösung 3$ :

Da der Kreis seinen Mittelpunkt bei $O(0,0)$ hat und durch den Punkt $(6,-8)$ verläuft, ist der Radius der $Abstand vom Mittelpunkt$ zu diesem Punkt.

\begin{aligned} r &= \sqrt{(6-0)^2 + (-8-0)^2} \\ &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Die Kreisgleichung: $x^2 + y^2 = r^2 = 10^2 = 100$

$Lösung 4$ :

Der Kreismittelpunkt ist der $Mittelpunkt des Durchmessers$ $AB$ :

\begin{aligned} &\text{Mittelpunkt} \\ &= \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \\ &= \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) \\ &= \left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}\right) \\ &= (4, 1) \end{aligned}

Der Radius ist die halbe Durchmesserlänge:

\begin{aligned}AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\&=\sqrt{(7-1)^2+(-1-3)^2}\\&=\sqrt{6^2+(-4)^2}\\&=\sqrt{36+16}\\&=\sqrt{52}\\&=2\sqrt{13}\end{aligned}

Die Kreisgleichung: $(x-4)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$