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Eine Kreisgleichung beschreibt jeden Punkt eines Kreises in der Koordinatenebene. Beim Zeichnen mit einem Zirkel legt die Nadel den Mittelpunkt fest, die Öffnung bestimmt den Radius und der Stift zeichnet genau die Punkte nach, welche die Gleichung erfüllen.
Warum ist das nützlich? Denn wenn wir die Kreisgleichung kennen, können wir sofort erkennen, wo sich der befindet und wie groß sein ist, ohne den Kreis zuerst zeichnen zu müssen.
Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung .
Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt bei und Radius haben, dann hat jeder Punkt auf diesem Kreis den gleichen Abstand vom Mittelpunkt, nämlich .
Mit der Abstandsformel erhalten wir:
Wenn wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Kreisgleichung mit Mittelpunkt im Ursprung:
Die Grafik macht den festen Radius sichtbar.
Für den obigen Kreis lautet die Gleichung , da der Radius beträgt, also .
Was ist nun, wenn das Zentrum nicht im Ursprung liegt? Angenommen, der Mittelpunkt des Kreises liegt im Punkt mit dem Radius .
Jeder Punkt auf diesem Kreis muss den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben. Mit der Abstandsformel:
Nach dem Quadrieren erhalten wir die Standardform eines Kreises mit beliebigem Mittelpunkt:
Die Verschiebung des Mittelpunkts ist in der folgenden Grafik zu sehen.
Die Gleichung des obigen Kreises lautet , weil der Mittelpunkt und der Radius ist, also .
Manchmal liegen Kreisgleichungen bereits in allgemeiner Form vor. Wenn wir beispielsweise die Gleichung ausmultiplizieren:
Diese letzte Form wird allgemeine Form der Kreisgleichung genannt:
Eine Gleichung in allgemeiner Form lässt sich durch Quadratvervollständigung wieder in die Standardform umwandeln.
Nicht alle Gleichungen der Form beschreiben einen nicht entarteten reellen Kreis. Dafür muss gelten. Ist der Wert null, bleibt nur ein einzelner Punkt. Ist er negativ, erfüllt kein reeller Punkt die Gleichung, sodass sie keinen reellen Kreis beschreibt.
Die Quadratvervollständigung zeigt, woher die Formeln für Mittelpunkt und Radius stammen:
Aus der Standardform können wir direkt erkennen:
Der Mittelpunkt liegt bei und der Radius beträgt (erhalten aus ).
Aus der allgemeinen Form können wir Folgendes bestimmen:
Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius .
Gegeben ist . Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises.
Ein Kreis verläuft durch und hat den Mittelpunkt . Bestimme seine Gleichung.
Bestimme die Gleichung eines Kreises, dessen Durchmesser die Endpunkte und hat.
Lösung:
Gegeben sind der Mittelpunkt und der Radius .
Wir setzen beide Werte in die Standardform ein:
Die Kreisgleichung lautet also .
Lösung:
Aus der Gleichung ermitteln wir die Koeffizienten:
Lösung:
Da der Mittelpunkt des Kreises bei liegt und durch den Punkt verläuft, ist der Radius der Abstand vom Mittelpunkt zu diesem Punkt.
Lösung:
Der Kreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Durchmessers :
, ,
Der Kreismittelpunkt liegt also bei mit dem Radius .
Die Kreisgleichung:
Der Radius ist die halbe Durchmesserlänge:
Die Kreisgleichung:
