Arithmetische Reihe
Grundkonzept:
Eine arithmetische Reihe ist die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge. Zwischen den aufeinanderfolgenden Gliedern dieser Folge liegt die konstante gemeinsame Differenz .
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Grundkonzept:
Eine arithmetische Reihe ist die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge. Zwischen den aufeinanderfolgenden Gliedern dieser Folge liegt die konstante gemeinsame Differenz .
Summiert werden also Glieder mit dem Muster .
Die Summe der ersten Glieder wird mit bezeichnet und lässt sich so berechnen:
oder
Dabei ist das erste Glied und das -te Glied.
Ein Stapel bestehe in der ersten Schicht aus Stein, in der zweiten aus Steinen und in der dritten aus Steinen. Die gemeinsame Differenz beträgt . Die arithmetische Reihe gibt die Gesamtzahl der Steine in den ersten Schichten an.
Grundkonzept:
Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Der konstante gemeinsame Quotient aufeinanderfolgender Glieder wird mit bezeichnet.
Summiert werden also Glieder mit dem Muster .
Für die Summe der ersten Glieder gilt:
Diese Formel gilt für . Dabei ist das erste Glied und der Quotient.
Für sind alle Glieder gleich . Dann gilt der Sonderfall:
Eine Werkstatt fertige in aufeinanderfolgenden Stunden , dann und anschließend neue Bauteile. Die Stundenproduktion hat den Quotienten . Die geometrische Reihe beschreibt die kumulative Produktion über . In den ersten entstehen insgesamt .
| Merkmal | Arithmetische Reihe | Geometrische Reihe |
|---|---|---|
| Grundlage | Summe der Glieder einer arithmetischen Folge mit gemeinsamer Differenz | Summe der Glieder einer geometrischen Folge mit Quotient |
| Summenformel | ||
| Muster | Konstante Addition/Subtraktion | Konstante Multiplikation/Division |
Für die arithmetische Reihe:
Die gemeinsame Differenz ist . Daher:
Für die geometrische Reihe:
Der gemeinsame Quotient ist . Daher:
Die Glieder einer arithmetischen Reihe ändern sich linear mit dem Index, ihre Partialsummen im Allgemeinen quadratisch. Die Glieder einer geometrischen Reihe ändern sich exponentiell, während ihre endlichen Partialsummen der geometrischen Summenformel folgen.
Der Name einer Reihe bezieht sich auf die Folge ihrer Glieder. Er sagt nicht, dass die Partialsummen selbst eine arithmetische oder geometrische Folge bilden.
Klassifiziere jede Reihe und berechne ihre Summe:
Die erste Reihe ist arithmetisch mit . Die zweite ist geometrisch mit :