Unterschied zwischen Konvergenz und Divergenz

Die Partialsummen auf einen endlichen Grenzwert prüfen

Werden die Glieder einer unendlichen Folge addiert, entsteht eine $unendliche Reihe$ . Untersuche dafür die Folge ihrer Partialsummen: Nähert sie sich einer endlichen Zahl, ist die Reihe $konvergent$ . Andernfalls ist sie $divergent$ .

Konvergenz von Folgen

Eine Folge $(a_n)$ konvergiert gegen $L$ , wenn ihre Glieder $beliebig nahe$ an $L$ liegen, sobald $n$ hinreichend groß ist. Man schreibt:

\lim_{n\to\infty}a_n=L

Wenn kein endlicher Grenzwert existiert, divergiert die Folge. Divergenz kann verschiedene Formen annehmen:

$a_n=n$ wächst unbegrenzt.
$a_n=-n$ nimmt unbegrenzt ab.
$a_n=(-1)^n$ pendelt zwischen zwei Werten.

Von einer Folge zu einer Reihe

Für eine unendliche Reihe:

\sum_{k=1}^{\infty}a_k

Zur Untersuchung der Konvergenz betrachten wir die Folge der Partialsummen:

S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn $die Folge der Partialsummen konvergiert$ . Der Grenzwert der Glieder $a_n$ allein entscheidet noch nicht über die Konvergenz der Reihe.

Konvergente Reihen

Eine Reihe heißt $konvergent$ , wenn ihre Partialsummen gegen einen endlichen Wert streben. Bei einem idealisierten springenden Ball können etwa die zurückgelegten Teilstrecken immer kleiner werden, sodass die gesamte Weglänge einen endlichen Grenzwert besitzt.

Partialsummen streben einem Grenzwert zu

Wenn die Partialsummen $S_n$ gegen $L$ streben, tun das auch die jeweils vorherigen Partialsummen. Ihre Differenz ist das neu hinzugekommene Glied:

a_n=S_n-S_{n-1}\longrightarrow L-L=0

Glieder, die gegen null streben, sind somit eine $notwendige Bedingung$ , aber keine Garantie für Konvergenz. Die Partialsummen müssen weiterhin untersucht werden.

Beispiel für eine konvergente Reihe

Eine geometrische Reihe konvergiert, wenn der Betrag ihres Quotienten kleiner als $1$ ist. Nimm die Reihe $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ mit dem Quotienten $\frac{1}{2}$ . Ihre Partialsummen nähern sich immer weiter der $2$ , und die Grenzwertformel bestätigt diesen Wert direkt.

S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Bei einem ersten Glied ungleich null und $einem Faktor mit Betrag mindestens eins$ besitzt die geometrische Reihe keine endliche Summe. Eine Reihe, deren Glieder alle null sind, konvergiert dagegen gegen null.

Divergente Reihen

Eine Reihe heißt $divergent$ , wenn ihre Partialsummen keinen endlichen Grenzwert besitzen. Die Partialsummen können:

gegen positive Unendlichkeit $\infty$ wachsen,
gegen negative Unendlichkeit $-\infty$ fallen oder
zwischen verschiedenen Werten schwanken, ohne sich einem Grenzwert zu nähern.

Partialsummen finden keinen Grenzwert

Eine divergente Reihe hat $keinen einzelnen Grenzwert$ oder wächst über jede Schranke hinaus. Die beiden Bedingungen unten trennen diese Fälle.

Die Partialsummen $S_n$ nähern sich keinem bestimmten Wert $L$ , wenn $n$ gegen unendlich geht.
Gilt $u_n\not\to 0$ , dann ist die Reihe sicher divergent. Das umfasst sowohl einen von null verschiedenen Grenzwert als auch eine Gliederfolge ohne Grenzwert. Die Umkehrung gilt nicht.

Reihen ohne Grenzwert

Vergleiche die Glieder mit den Partialsummen. In den ersten drei Beispielen streben schon die Glieder nicht gegen null. Die harmonische Reihe braucht eine weitere Begründung, weil ihre Glieder gegen null streben.

Reihe	Erste Partialsummen	Verhalten
$1+2+3+4+\cdots$	$1,3,6,10$	Unbegrenztes Wachstum
$2+4+8+16+\cdots$	$2,6,14,30$	Unbegrenztes Wachstum
$1-2+4-8+\cdots$	$1,-1,3,-5$	Wechselnde Vorzeichen mit wachsenden Beträgen

Fasse bei der $harmonischen Reihe$ die Glieder nach $1+1/2$ zu Gruppen von zwei, vier, acht und so weiter zusammen. Jede Gruppe trägt mindestens eine Hälfte bei:

\begin{aligned}\frac13+\frac14&\ge2\cdot\frac14=\frac12\\\frac15+\frac16+\frac17+\frac18&\ge4\cdot\frac18=\frac12\\\sum_{k=2^{m-1}+1}^{2^m}\frac1k&\ge2^{m-1}\cdot\frac1{2^m}=\frac12\end{aligned}

Es gibt unendlich viele Gruppen mit einem Beitrag von jeweils mindestens $1/2$ . Die Partialsummen überschreiten deshalb jede Schranke, obwohl $1/n\to0$ gilt. Daran siehst du, warum $Glieder mit Grenzwert null nicht ausreichen$ .

Vollständige Klassifizierung geometrischer Reihen

Betrachten wir die Reihe:

a+ar+ar^2+\dots

Für $a\ne0$ gehört jeder mögliche $Wert des Quotienten$ zu genau einem der folgenden Fälle:

Wenn $|r|<1$ , konvergiert die Reihe gegen $a/(1-r)$ .
Wenn $r=1$ , sind die Partialsummen $na$ und divergieren.
Wenn $r=-1$ , wechseln die Partialsummen zwischen zwei Werten.
Wenn $|r|>1$ , streben bereits die Glieder nicht gegen Null.

Eine divergente Reihe besitzt keinen endlichen Grenzwert. Sie kann unbegrenzt wachsen, unbegrenzt fallen oder oszillieren.

Folgen mit einer Richtung und einer Schranke

Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Dieses Kriterium ist nützlich, wenn ein Grenzwert nur schwer direkt aus einer Formel abzulesen ist.

Die Partialsummen einer Reihe mit nichtnegativen Gliedern nehmen nicht ab. Sind sie zugleich nach oben beschränkt, konvergiert die Reihe.

Zum Beispiel hat die Reihe $1+1/2+1/4+\cdots$ die Partialsummen $S_n=2-2^{1-n}<2$ . Jedes hinzugefügte Glied ist positiv, also wachsen die Partialsummen. Zwei ist eine $obere Schranke$ für alle Partialsummen. Die Reihe konvergiert deshalb.

Konvergente und divergente Reihen im Vergleich

Die Tabelle sammelt die drei Prüfungen, sodass du Partialsummenverhalten, Gliederbedingung und ein passendes Beispiel nebeneinander vergleichen kannst.

Merkmal	Konvergente Reihe	Divergente Reihe
$Partialsummen$	Nähern sich einem endlichen Wert $L$ . $S_\infty = L$	Nähern sich keinem endlichen Wert. Sie können gegen $\pm \infty$ streben oder oszillieren
$Allgemeines Glied$	$u_n\to0$ ist notwendig	Aus $u_n\not\to0$ folgt sicher Divergenz. Dennoch kann auch $u_n\to0$ gelten
$Beispiele$	Geometrische Reihe mit $\lvert r\rvert < 1$	Nichttriviale arithmetische Reihe, geometrische Reihe mit erstem Glied ungleich null und $\lvert r\rvert \geq 1$ , harmonische Reihe

Übung

Entscheide für jede Reihe, ob sie konvergiert oder divergiert. Prüfe zuerst das Verhalten der Glieder, denn ein Glied, das $nicht gegen null$ strebt, beantwortet die Frage bereits. Notiere deine Entscheidung für jede Reihe, bevor du die Lösung liest.

$\sum_{k=0}^{\infty}3(1/4)^k$
$\sum_{k=1}^{\infty}1$
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$

Lösung

Die erste Reihe ist geometrisch mit $|r|=1/4<1$ , also konvergiert sie:

$\frac{3}{1-1/4}=\frac{3}{3/4}=3\cdot\frac43=4$
Die Glieder der zweiten Reihe $nähern sich nicht Null$ . Daher divergiert die Reihe.
Die Partialsummen der dritten Reihe wechseln zwischen zwei Werten. Die Reihe divergiert durch Oszillation und wächst nicht gegen Unendlich.

Bei der zweiten Reihe gilt $S_n=n$ . Ihre Partialsummen sind also unbeschränkt. Bei der dritten gilt $S_1=1$ , $S_2=0$ , $S_3=1$ und $S_4=0$ . Zwei Teilfolgen haben verschiedene Grenzwerte. Daher besitzt die gesamte Folge der Partialsummen keinen Grenzwert.