For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Eine Folge konvergiert gegen , wenn ihre Glieder beliebig nahe an liegen, sobald hinreichend groß ist. Man schreibt:
Wenn kein endlicher Grenzwert existiert, divergiert die Folge. Divergenz kann verschiedene Formen annehmen:
Für eine unendliche Reihe:
Zur Untersuchung der Konvergenz betrachten wir die Folge der Partialsummen:
Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Der Grenzwert der Glieder allein entscheidet noch nicht über die Konvergenz der Reihe.
Eine Reihe heißt konvergent, wenn ihre Partialsummen gegen einen endlichen Wert streben. Bei einem idealisierten springenden Ball können etwa die zurückgelegten Teilstrecken immer kleiner werden, sodass die gesamte Weglänge einen endlichen Grenzwert besitzt.
Wenn die Partialsummen gegen streben, tun das auch die jeweils vorherigen Partialsummen. Ihre Differenz ist das neu hinzugekommene Glied:
Glieder, die gegen null streben, sind somit eine notwendige Bedingung, aber keine Garantie für Konvergenz. Die Partialsummen müssen weiterhin untersucht werden.
Eine geometrische Reihe konvergiert, wenn der Betrag ihres Quotienten kleiner als ist. Nimm die Reihe mit dem Quotienten . Ihre Partialsummen nähern sich immer weiter der , und die Grenzwertformel bestätigt diesen Wert direkt.
Bei einem ersten Glied ungleich null und einem Faktor mit Betrag mindestens eins besitzt die geometrische Reihe keine endliche Summe. Eine Reihe, deren Glieder alle null sind, konvergiert dagegen gegen null.
Eine Reihe heißt divergent, wenn ihre Partialsummen keinen endlichen Grenzwert besitzen. Die Partialsummen können:
Eine divergente Reihe hat keinen einzelnen Grenzwert oder wächst über jede Schranke hinaus. Die beiden Bedingungen unten trennen diese Fälle.
Vergleiche die Glieder mit den Partialsummen. In den ersten drei Beispielen streben schon die Glieder nicht gegen null. Die harmonische Reihe braucht eine weitere Begründung, weil ihre Glieder gegen null streben.
| Reihe | Erste Partialsummen | Verhalten |
|---|---|---|
| Unbegrenztes Wachstum | ||
Fasse bei der harmonischen Reihe die Glieder nach zu Gruppen von zwei, vier, acht und so weiter zusammen. Jede Gruppe trägt mindestens eine Hälfte bei:
Es gibt unendlich viele Gruppen mit einem Beitrag von jeweils mindestens . Die Partialsummen überschreiten deshalb jede Schranke, obwohl gilt. Daran siehst du, warum Glieder mit Grenzwert null nicht ausreichen.
Betrachten wir die Reihe:
Für gehört jeder mögliche Wert des Quotienten zu genau einem der folgenden Fälle:
Eine divergente Reihe besitzt keinen endlichen Grenzwert. Sie kann unbegrenzt wachsen, unbegrenzt fallen oder oszillieren.
Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Dieses Kriterium ist nützlich, wenn ein Grenzwert nur schwer direkt aus einer Formel abzulesen ist.
Die Partialsummen einer Reihe mit nichtnegativen Gliedern nehmen nicht ab. Sind sie zugleich nach oben beschränkt, konvergiert die Reihe.
Zum Beispiel hat die Reihe die Partialsummen . Jedes hinzugefügte Glied ist positiv, also wachsen die Partialsummen. Zwei ist eine obere Schranke für alle Partialsummen. Die Reihe konvergiert deshalb.
Die Tabelle sammelt die drei Prüfungen, sodass du Partialsummenverhalten, Gliederbedingung und ein passendes Beispiel nebeneinander vergleichen kannst.
| Merkmal | Konvergente Reihe | Divergente Reihe |
|---|---|---|
| Partialsummen | Nähern sich einem endlichen Wert . | Nähern sich keinem endlichen Wert. Sie können gegen streben oder oszillieren |
| Allgemeines Glied | ist notwendig | Aus folgt sicher Divergenz. Dennoch kann auch gelten |
| Beispiele | Geometrische Reihe mit | Nichttriviale arithmetische Reihe, geometrische Reihe mit erstem Glied ungleich null und , harmonische Reihe |
Entscheide für jede Reihe, ob sie konvergiert oder divergiert. Prüfe zuerst das Verhalten der Glieder, denn ein Glied, das nicht gegen null strebt, beantwortet die Frage bereits. Notiere deine Entscheidung für jede Reihe, bevor du die Lösung liest.
Die erste Reihe ist geometrisch mit , also konvergiert sie:
Die Glieder der zweiten Reihe nähern sich nicht Null. Daher divergiert die Reihe.
Die Partialsummen der dritten Reihe wechseln zwischen zwei Werten. Die Reihe divergiert durch Oszillation und wächst nicht gegen Unendlich.
Bei der zweiten Reihe gilt . Ihre Partialsummen sind also unbeschränkt. Bei der dritten gilt , , und . Zwei Teilfolgen haben verschiedene Grenzwerte. Daher besitzt die gesamte Folge der Partialsummen keinen Grenzwert.
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
| Unbegrenztes Wachstum |
| Wechselnde Vorzeichen mit wachsenden Beträgen |
