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Werden die Glieder einer unendlichen Folge addiert, entsteht eine unendliche Reihe. Entscheidend ist nicht eine vermeintlich letzte Summe, sondern die Folge ihrer Partialsummen: Nähert sie sich einer endlichen Zahl, ist die Reihe . Andernfalls ist sie .
Eine Folge konvergiert gegen , wenn ihre Glieder beliebig nahe an liegen, sobald hinreichend groß ist. Man schreibt:
Wenn kein endlicher Grenzwert existiert, divergiert die Folge. Divergenz kann verschiedene Formen annehmen:
Für eine unendliche Reihe:
Untersucht werden die Partialsummen:
Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Der Grenzwert der Glieder allein entscheidet noch nicht über die Konvergenz der Reihe.
Eine Reihe heißt konvergent, wenn ihre Partialsummen gegen einen endlichen Wert streben. Bei einem idealisierten springenden Ball können etwa die zurückgelegten Teilstrecken immer kleiner werden, sodass die gesamte Weglänge einen endlichen Grenzwert besitzt.
Geometrische Reihe mit : Dies ist das häufigste Beispiel.
Die Reihe besitzt den Grenzwert .
Eine Reihe heißt divergent, wenn ihre Partialsummen keinen endlichen Grenzwert besitzen. Die Partialsummen können:
Arithmetische Reihen außer : Ihre Partialsummen wachsen gegen oder fallen gegen .
Zum Beispiel strebt gegen .
Geometrische Reihe mit :
Für wachsen die Partialsummen je nach Vorzeichen des ersten Gliedes gegen .
Beispiel: strebt gegen .
Harmonische Reihe: Bei strebt zwar das -te Glied gegen , die Partialsummen wachsen jedoch gegen . Die Bedingung reicht allein also nicht für Konvergenz aus.
Betrachten wir die Reihe:
Für gehört jeder mögliche Wert des Quotienten zu genau einem der folgenden Fälle:
Eine divergente Reihe hat deshalb nicht einfach den Wert . Oszillation und unbegrenztes negatives Wachstum sind ebenfalls Formen der Divergenz.
Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Dieses Kriterium ist nützlich, wenn ein Grenzwert nur schwer direkt aus einer Formel abzulesen ist.
Die Partialsummen einer Reihe mit nichtnegativen Gliedern nehmen zu. Sind sie zugleich nach oben beschränkt, konvergiert die Reihe.
| Merkmal | Konvergente Reihe | Divergente Reihe |
|---|---|---|
| Partialsummen | Nähern sich einem endlichen Wert ; | Nähern sich keinem endlichen Wert; sie können gegen streben oder oszillieren |
| -tes Glied | ist notwendig | Aus folgt sicher Divergenz; dennoch kann auch gelten |
| Beispiele | Geometrische Reihe mit | Nichttriviale arithmetische Reihe, geometrische Reihe mit , harmonische Reihe |
Entscheide für jede Reihe, ob sie konvergiert oder divergiert:
Die erste Reihe ist geometrisch mit , also konvergiert sie:
Die Glieder der zweiten Reihe nähern sich nicht Null. Daher divergiert die Reihe.
Die Partialsummen der dritten Reihe wechseln zwischen zwei Werten. Die Reihe divergiert durch Oszillation und wächst nicht gegen Unendlich.
Für oszillieren die Partialsummen.
Beispiel: Die Reihe besitzt die Partialsummen . Sie nähern sich keinem Wert.
