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Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Graph in einem bestimmten Grenzprozess annähert. In der Nähe einer senkrechten Asymptote wächst der Funktionswert betragsmäßig ohne Grenze. Bei einer waagerechten oder schrägen Asymptote nähert sich der Abstand zwischen Graph und Gerade für große Beträge der Eingabe dem Wert null.
Ein Graph darf eine waagerechte oder schräge Asymptote bei einem endlichen Eingabewert schneiden. Die Asymptote beschreibt das Grenzverhalten und ist keine unüberwindbare Grenze.
Wir unterscheiden drei Arten von Asymptoten:
Eine senkrechte Asymptote liegt an einer Stelle, an der der Funktionswert von mindestens einer Seite betragsmäßig unbegrenzt wächst.
Definition: Die Gerade x=a ist eine vertikale Asymptote, wenn mindestens einer der folgenden einseitigen Grenzwerte unendlich ist:
- Wenn sich x von links a nähert, f(x)→±∞
- Wenn sich x von rechts a nähert, f(x)→±∞
So wird sie bestimmt: Zunächst werden gemeinsame Polynomfaktoren gekürzt. In der vereinfachten rationalen Funktion entsteht eine senkrechte Asymptote, wenn Q(x)=0 und zugleich P(x)=0 gilt. Ein gekürzter Faktor erzeugt stattdessen eine Definitionslücke.
Eine horizontale Asymptote ist eine horizontale Linie, der sich der Graph für x gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.
Definition: Die Gerade y=b ist in jeder Richtung eine horizontale Asymptote, in der der zugehörige Grenzwert gilt:
-
limx→∞f(x)=b
-
limx→−∞f(x)=b
Eine schräge Asymptote ist eine schräge Linie, der sich der Graph für x gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.
Definition: Die Gerade y=mx+c ist in einer Richtung eine schräge Asymptote, wenn die folgende Differenz dort gegen null geht:
Konzentrieren wir uns auf rationale Funktionen f(x)=Q(x)P(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind.
- Bestimme die Werte von x, für die Q(x)=0 gilt
- Prüfe für diese Werte, ob P(x)=0 gilt
- Ist das der Fall, liegt bei x=a eine senkrechte Asymptote
Beispiel: Bestimme die senkrechte Asymptote von f(x)=x−2x+3.
- Der Nenner ist Null, wenn: x−2=0, also x=2
- Bei x=2 ist der Zähler 2+3=5=0
- Daher ist x=2 eine senkrechte Asymptote.
Betrachten wir das Funktionsverhalten um die vertikale Asymptote:
| x | f(x)=x−2x+3 | Beschreibung |
|---|
| 1,9 | 1,9−21,9+3=−0,14,9=−49 |
Regeln für rationale Funktionen:
Der Zähler habe den Grad m und der Nenner den Grad n.
- Wenn m<n: Die horizontale Asymptote ist y=0
- Wenn m=n: Die horizontale Asymptote ist y=ba (Verhältnis der führenden Koeffizienten)
- Wenn m>n: Keine horizontale Asymptote (aber es könnte eine schräge Asymptote geben)
Beispiel: Bestimme die waagerechte Asymptote der folgenden Funktionen:
-
f(x)=x2−42x+1
Lösung:
Der Zählergrad ist =1 und der Nennergrad ist =2. Da 1<2, beträgt die horizontale Asymptote y=0.
-
g(x)=2x2+53x2−1
Sehen wir uns an, wie sich die Funktion der horizontalen Asymptote annähert:
| x | g(x)=2x2+53x2−1 | Annäherung an |
|---|
| 10 | 2(100)+53(100)−1=205299≈1,459 |
Bei Grad des Za¨hlers=Grad des Nenners+1 treten schräge Asymptoten auf.
Vorgehen: Führe eine Polynomdivision durch.
Beispiel: Bestimme die schräge Asymptote von f(x)=x−1x2+2x−1.
Lösung:
Die Polynomdivision liefert:
Bei x→±∞ ist der Term x−12→0
Daher schräge Asymptote: y=x+3
Asymptoten sind beim Zeichnen von Funktionsgraphen sehr hilfreich. Hier sind die Schritte:
- Bestimme alle Asymptoten (senkrecht, waagerecht oder schräg)
- Zeichne die Asymptoten als Hilfslinien
- Bestimme die Achsenschnittpunkte
- Berechne einige zusätzliche Punkte
- Zeichne die Kurvenäste passend zu Punkten und Grenzverhalten
Vollständiges Beispiel: Zeichne den Graphen von f(x)=x−2x+1.
Schritt 1: Asymptoten bestimmen
- Vertikale Asymptote: x=2 (Nenner=0)
- Horizontale Asymptote: y=1 (gleicher Grad, Koeffizientenverhältnis =1/1)
Schritt 2: Achsenschnittpunkte bestimmen
- y-Achse: f(0)=0−20+1=−21
- x-Achse: 0=x−2x+1, also x=−1
Schritt 3: Verhalten rund um Asymptoten
- Bei x→2−: f(x)→−∞
- Bei x→2+: f(x)→+∞
- Bei x→±∞: f(x)→1
Schritt 4: Wertetabelle als Hilfe beim Zeichnen
| x | f(x)=x−2x+1 | Beschreibung |
|---|
| −3 | −3−2−3+1=−5−2=0,4 |
-
Bestimme alle Asymptoten von f(x)=x−32x2−3x+1.
-
Bestimme die Asymptoten von g(x)=x2−9x2−4.
-
Die durchschnittliche Kostenfunktion eines Produkts ist C(x)=x500+3x. Bestimme den Grenzwert der Kosten pro Einheit, wenn die Produktion unbegrenzt wächst.
-
Zeichne eine Skizze des Graphen h(x)=x2−1x einschließlich seiner Asymptoten.
Der Nenner wird bei x=3 null, während der Zähler dort den Wert 2(3)2−3(3)+1=10 hat. Weil der Zähler nicht ebenfalls null wird, ist x=3 eine senkrechte Asymptote.
Die Polynomdivision trennt das langfristige lineare Verhalten vom Restterm:
Für x→±∞ gilt x−310→0. Daher ist y=2x+3 die schräge Asymptote.
Zähler und Nenner werden zuerst faktorisiert:
Es gibt keinen gemeinsamen Faktor, der gekürzt werden könnte. Daher sind die Nennernullstellen x=−3 und x=3 senkrechte Asymptoten. Die Zählernullstellen x=−2 und x=2 sind Schnittpunkte mit der x-Achse. Zähler und Nenner haben denselben Grad und beide Leitkoeffizienten sind 1. Somit ist y=1 die waagerechte Asymptote.
Für x→∞ gilt x500→0. Daher folgt C(x)→3. Die Kosten nähern sich 3 pro Einheit, erreichen diesen Wert aber für kein endliches positives x.
Der Nenner wird als x2−1=(x−1)(x+1) faktorisiert. Keiner der Faktoren kürzt sich mit dem Zähler. Deshalb sind x=−1 und x=1 senkrechte Asymptoten. Da der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, gilt h(x)→0 für x→±∞. Die waagerechte Asymptote ist also y=0.
Die beiden senkrechten Asymptoten teilen den Definitionsbereich in drei Intervalle. h(x) ist für x<−1 negativ, für −1<x<0 positiv, für 0<x<1 negativ und für x>1 positiv. Zusammen mit dem Achsenschnittpunkt (0,0) bestimmen diese Vorzeichen die Lage aller drei Kurvenäste.
Wertetabelle für h(x)=x2−1x:
| x | h(x) | Beschreibung |
|---|
| −2 | 4−1−2=−32 | Linker Teil |
| −0,5 | 0,25−1−0,5=32 |
| 0 | 0−10=0 | Achsenschnittpunkt |
| 0,5 | 0,25−10,5=−32 |
| 2 | 4−12=32 |
| 1,99 | −0,014,99=−499 | Wird stärker negativ |
| 2,01 | 0,015,01=501 | Nähert sich +∞ |
| 2,1 | 0,15,1=51 | Wird stärker positiv |
Lösung:
Der Zählergrad ist =2 und der Nennergrad ist =2. Da die Grade gleich sind, beträgt die horizontale Asymptote y=23.
| 100 | 2000529999≈1,4996 | 1,5 |
| 1000 | 20000052999999≈1,499996 | 1,5 |
| −1 | −1−2−1+1=−30=0 | x-Achsenschnittpunkt |
| 0 | 0−20+1=−21=−0,5 | y-Achsenschnittpunkt |
| 1 | 1−21+1=−12=−2 | Annäherung an die vertikale Asymptote |
| 3 | 3−23+1=14=4 | Rechts der senkrechten Asymptote |
| 5 | 5−25+1=36=2 | Annäherung an die horizontale Asymptote |
