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Ein Graph darf eine waagerechte oder schräge Asymptote bei einem endlichen Eingabewert schneiden. Die Asymptote beschreibt das Grenzverhalten und ist keine unüberwindbare Grenze.
Die Richtung der Geraden unterscheidet die drei Asymptotenarten.
Wir unterscheiden drei Arten von Asymptoten. Die Art ergibt sich daraus, wie sich der Graph dem Verlauf nähert. Die drei Arten sind nach der Richtung der Geraden benannt, der sich der Graph nähert.
Eine senkrechte Asymptote liegt an einer Stelle, an der der Funktionswert von mindestens einer Seite betragsmäßig unbegrenzt wächst.
Definition: Die Gerade ist eine vertikale Asymptote, wenn mindestens einer der folgenden einseitigen Grenzwerte unendlich ist:
So wird sie bestimmt: Zunächst werden gemeinsame Polynomfaktoren gekürzt. In der vereinfachten rationalen Funktion entsteht eine senkrechte Asymptote, wenn und zugleich gilt. Eine Lücke entsteht nur, wenn alle bei der Eingabe verschwindenden Nennerfaktoren vollständig gekürzt werden. Bleibt ein solcher Faktor im Nenner übrig, liegt dort weiterhin eine senkrechte Asymptote.
| Ursprünglicher Term | Vereinfachter Term | Verhalten bei eins |
|---|---|---|
| Lücke | ||
Eine horizontale Asymptote ist eine horizontale Linie, der sich der Graph für gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.
Definition: Die Gerade ist in jeder Richtung eine horizontale Asymptote, in der der zugehörige Grenzwert gilt:
Eine schräge Asymptote hat eine Steigung ungleich null. Bei Steigung null ist die Asymptote waagerecht.
Eine schräge Asymptote ist eine schräge Linie, der sich der Graph für gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.
Definition: Die Gerade ist in einer Richtung eine schräge Asymptote, wenn die folgende Differenz dort gegen null geht:
Die Polynomgrade bestimmen das Verhalten rationaler Funktionen für große Eingabebeträge.
Konzentrieren wir uns auf rationale Funktionen , wobei und Polynome sind. Bei diesen Funktionen folgt die Asymptote direkt aus den Nullstellen des Nenners und aus dem Grad beider Polynome.
Kürze zuerst gemeinsame Faktoren und behalte die ursprüngliche Definitionsmenge bei. Verwende danach in den folgenden Schritten Zähler und Nenner des gekürzten Terms.
Schritte:
Beispiel: Bestimme die senkrechte Asymptote von .
Lösung:
Betrachten wir das Funktionsverhalten um die vertikale Asymptote:
| Beschreibung | ||
|---|---|---|
Regeln für rationale Funktionen:
Der Zähler habe den Grad und der Nenner den Grad .
Beispiel: Bestimme die waagerechte Asymptote der folgenden Funktionen:
Lösung:
Der Zählergrad ist und der Nennergrad ist . Da , beträgt die horizontale Asymptote .
Die folgenden Werte zeigen, wie sich die Funktion der horizontalen Asymptote nähert:
| Annäherung an | ||
|---|---|---|
Bei treten schräge Asymptoten auf.
Vorgehen: Führe eine Polynomdivision durch.
Beispiel: Bestimme die schräge Asymptote von .
Lösung: Die Polynomdivision liefert:
Die Polynomdivision verwendet zwei Subtraktionen. Jede Zeile entfernt den Term mit dem höchsten Grad aus dem vorherigen Rest.
| Quotiententerm | Produkt mit dem Divisor | Rest |
|---|---|---|
Bei ist der Term
Daher schräge Asymptote:
Zeichne zuerst die Asymptoten. Eine vertikale Asymptote markiert den Eingabewert, dem sich die Variable nähert, während der Betrag des Funktionswerts unbegrenzt wächst. Eine horizontale oder schiefe Asymptote beschreibt das Endverhalten, wenn der Betrag der Eingabe wächst. Gehe anschließend so vor:
Vollständiges Beispiel: Zeichne den Graphen von .
Schritt 1: Asymptoten bestimmen
Schritt 2: Achsenschnittpunkte bestimmen
Schritt 3: Verhalten rund um Asymptoten
Schritt 4: Wertetabelle als Hilfe beim Zeichnen
| Beschreibung | ||
|---|---|---|
Prüfe Nennerfaktoren und den Gradunterschied bei jeder Funktion. Alle Funktionen dieser Übungen sind rational.
Bestimme alle Asymptoten von .
Bestimme die Asymptoten von .
Die durchschnittliche Kostenfunktion eines Produkts ist . Bestimme den Grenzwert der Kosten pro Einheit, wenn die Produktion unbegrenzt wächst.
Zeichne eine Skizze des Graphen einschließlich seiner Asymptoten.
Aufgabe 1. Der Nenner wird bei null, während der Zähler dort den Wert hat. Weil der Zähler nicht ebenfalls null wird, ist eine senkrechte Asymptote.
Die Polynomdivision trennt das langfristige lineare Verhalten vom Restterm:
Für gilt . Daher ist die schräge Asymptote.
Aufgabe 2. Zähler und Nenner werden zuerst faktorisiert:
Es gibt keinen gemeinsamen Faktor, der gekürzt werden könnte. Daher sind die Nennernullstellen und senkrechte Asymptoten. Die Zählernullstellen und sind Schnittpunkte mit der -Achse. Zähler und Nenner haben denselben Grad und beide Leitkoeffizienten sind . Somit ist die waagerechte Asymptote.
Aufgabe 3. Zerlege die Durchschnittskosten in einen von der Produktionsmenge abhängigen und einen konstanten Anteil.
Für gilt . Daher folgt . Die Kosten nähern sich pro Einheit, erreichen diesen Wert aber für kein endliches positives .
Aufgabe 4. Der Nenner wird als faktorisiert. Keiner der Faktoren kürzt sich mit dem Zähler. Deshalb sind und senkrechte Asymptoten. Da der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, gilt für . Die waagerechte Asymptote ist also .
Die beiden senkrechten Asymptoten teilen den Definitionsbereich in drei Intervalle. ist für negativ, für positiv, für negativ und für positiv. Zusammen mit dem Achsenschnittpunkt bestimmen diese Vorzeichen die Lage aller drei Kurvenäste.
Wertetabelle für :
| Beschreibung | ||
|---|---|---|
| Linker Teil | ||
| Achsenschnittpunkt | ||
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
| Senkrechte Asymptote |
| Nähert sich |
| Wird stärker negativ |
| Nähert sich |
| Wert rechts der Asymptote |
Lösung:
Der Zählergrad ist und der Nennergrad ist . Da die Grade gleich sind, beträgt die horizontale Asymptote .
| Punkt im Quadranten II |
| -Achsenschnittpunkt |
| -Achsenschnittpunkt |
| Annäherung an die vertikale Asymptote |
| Rechts der senkrechten Asymptote |
| Annäherung an die horizontale Asymptote |
| Mittelteil |
| Mittelteil |
| Rechter Teil |
