Absolutwertfunktion

Der Abstand einer Zahl von null

Die Absolutwert-Grundfunktion ordnet jeder reellen Zahl $ihren Abstand von null auf der Zahlengeraden$ zu. Da ein Abstand nie negativ ist, liefert $f(x)=|x|$ stets einen nichtnegativen Wert. Transformationen können den Grundgraphen verschieben oder spiegeln, sodass die Ausgaben einer transformierten Absolutwertfunktion nicht immer nichtnegativ sein müssen.

Definition der Betragsfunktion

Für jede reelle Zahl $x$ ist die Absolutwertfunktion wie folgt definiert:

f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{wenn } x \geq 0 \\ -x, & \text{wenn } x < 0 \end{cases}

$Komponenten von Absolutwertfunktionen$ :

Das Symbol $|x|$ liest man als Absolutwert von $x$ .
Der Funktionswert ist immer nichtnegativ: $|x| \geq 0$ .
Die Funktion ist gerade: $|-x| = |x|$ .

Die Definition unterscheidet Eingaben nach ihrem $Vorzeichen$ . Bei einer negativen Eingabe liefert das vorangestellte Minus einen positiven Abstand.

|-3|=-(-3)=3,\qquad|3|=3

Eigenschaften von Absolutwertfunktionen

Aus der Deutung als Abstand folgen diese grundlegenden Eigenschaften:

$Grundlegende Eigenschaften$ :

|x| \geq 0 \text{ für alle } x \in \mathbb{R}

$Eigenschaften der Dreiecksungleichung$ :

|x + y| \leq |x| + |y|

Bei der $Dreiecksungleichung$ ist der Abstand einer Summe höchstens so groß wie die Summe der beiden Abstände. Betrachte zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

|3+(-5)|=2\leq3+5=|3|+|-5|

Graphen von Absolutwertfunktionen

Der Graph der Grundfunktion zeigt $|x|$ als $Abstand von null$ :

Funktionsgraph

f(x) = |x|

Der Graph ist V-förmig und hat seinen Scheitelpunkt im Ursprung.

Wertetabelle für Funktion $f(x) = |x|$ :

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x) = \lvert x \rvert$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

Transformationen von Absolutwertfunktionen

Eine $Verschiebung versetzt den Scheitelpunkt$ , ohne die Öffnungsrichtung zu ändern. Eine Streckung verändert die Steigungen der beiden Arme des V. Die Spiegelung an der waagerechten Achse öffnet den Graphen nach unten. Diese Operationen lassen sich auf die Grundfunktion $f(x)=|x|$ anwenden und kombinieren.

Vertikale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = |x| + k$ $verschiebt den Graphen nach oben$ (wenn $k > 0$ ) oder nach unten (wenn $k < 0$ ).

Vertikale Verschiebung

Vergleich von

f(x) = |x|

mit

g(x) = |x| + 2

und

h(x) = |x| - 2

Horizontale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = |x - h|$ $verschiebt den Graphen nach rechts$ (wenn $h > 0$ ) oder nach links (wenn $h < 0$ ).

Horizontale Verschiebung

Vergleich von

f(x) = |x|

mit

g(x) = |x - 3|

und

h(x) = |x + 3|

Streckung und Stauchung

Die Funktion $f(x) = a|x|$ $verändert je nach Faktor die Steilheit$ und gegebenenfalls die Orientierung des Graphen:

Für $|a| > 1$ wird der Graph steiler.
Für $0 < |a| < 1$ wird der Graph flacher.
Für $a < 0$ wird der Graph zusätzlich an der $x$ -Achse gespiegelt.

Der direkte Vergleich zeigt den Einfluss des Faktors:

Streckung und Stauchung

Vergleich von

f(x) = |x|

mit

g(x) = 2|x|

und

h(x) = 0{,}5|x|

Allgemeine Form von Absolutwertfunktionen

Die allgemeine Form einer Absolutwertfunktion ist:

f(x) = a|x - h| + k

Die Parameter in dieser Form bedeuten:

$a$ steuert Streckung, Stauchung und Spiegelung.
$h$ bestimmt die horizontale Verschiebung.
$k$ bestimmt die vertikale Verschiebung.
Der Scheitelpunkt liegt bei $(h, k)$

$Transformationstabelle$ :

Parameter	Wert	Auswirkung auf den Graphen
$\lvert a \rvert > 1$	Betrag $> 1$	Graph wird steiler
$0 < \lvert a \rvert < 1$	Betrag $< 1$	Graph wird flacher
$a < 0$	Negativ	Graph wird zusätzlich an der $x$ -Achse gespiegelt
$h > 0$	Positiv	Nach rechts verschieben
$h < 0$	Negativ	Nach links verschieben
$k > 0$	Positiv	Nach oben verschieben
$k < 0$	Negativ	Nach unten verschieben

Für einen V-förmigen Graphen gilt $a\neq0$ . Bei Faktor null entsteht eine $waagerechte Gerade$ ohne einen eindeutigen Scheitelpunkt.

Absolutwertgleichungen und Ungleichungen

$Absolutwertgleichungen lösen$ :

So löst du $|x| = a$ mit $a \geq 0$ :

|x| = a \Rightarrow x = a \text{ oder } x = -a

$Beispiel$ : Löse $|x - 3| = 5$

|x - 3| = 5

$Absolutwertungleichungen lösen$ :

Für $|x| < a$ mit $a > 0$ :

|x| < a \Rightarrow -a < x < a

Für $|x| > a$ mit $a > 0$ :

|x| > a \Rightarrow x < -a \text{ oder } x > a

Übungen

Nutze je nach Aufgabe $Funktionswerte, zwei mögliche Vorzeichen oder verschobene Scheitelpunkte$ . In der Abstandsaufgabe werden beide Städte auf einer Geraden modelliert.

Bestimme den Wert von $f(x) = |2x - 6|$ für $x = -1, 0, 3, 5$
Löse die Gleichung $|3x + 1| = 7$
Löse die Ungleichung $|x - 2| < 4$
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = 2|x - 3| + 1$
Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt $150 \text{ km}$ . Wenn sich die Stadt $A$ an der Koordinate $-50 \text{ km}$ befindet, wo befindet sich dann die Stadt $B$ ?

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Ersetze $jeden Wert$ von $x$ in der Funktion $f(x) = |2x - 6|$ :

\begin{aligned} f(-1) &= |2(-1) - 6| \\ &= |-2 - 6| \\ &= |-8| \\ &= 8 \end{aligned}

$Aufgabe 2$ . Für die Gleichung $|3x + 1| = 7$ verwenden wir die Definition des Absolutwerts, die $zwei Möglichkeiten$ ergibt:

3x + 1 = 7 \quad \text{oder} \quad 3x + 1 = -7

$Aufgabe 3$ . Für $|x - 2| < 4$ verwenden wir die Eigenschaft, dass $|a| < b$ äquivalent zu $-b < a < b$ ist:

-4 < x - 2 < 4

Die $Lösungsmenge$ ist also $x \in (-2, 6)$ .

$Aufgabe 4$ . Anhand der Funktion $f(x) = 2|x - 3| + 1$ können wir $die Parameter identifizieren$ :

$a = 2$ (Streckfaktor)
$h = 3$ (horizontale Verschiebung)
$k = 1$ (vertikale Verschiebung)

Der Scheitelpunkt liegt bei $(h, k) = (3, 1)$ .

Ein Betrag erreicht seinen kleinsten Wert, wenn der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche null ist. Bestimme diese Eingabe und berechne den Funktionswert, um beide Koordinaten des Scheitelpunkts zu erhalten.

x-3=0 \Rightarrow x=3,\qquad f(3)=2|3-3|+1=1

$Aufgabe 5$ . Der $Abstand zwischen den Städten$ $A$ und $B$ beträgt $150 \text{ km}$ . Stadt $A$ liegt bei $-50 \text{ km}$ . Die Koordinate von Stadt $B$ nennen wir $x_B$ :

|-50 - x_B| = 150

Die Stadt $B$ kann also an der Koordinate $100 \text{ km}$ oder $-200 \text{ km}$ liegen.

Der Abstand einer Zahl von null

Definition der Betragsfunktion

Für jede reelle Zahl $x$ ist die Absolutwertfunktion wie folgt definiert:

f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{wenn } x \geq 0 \\ -x, & \text{wenn } x < 0 \end{cases}

$Komponenten von Absolutwertfunktionen$ :

Das Symbol $|x|$ liest man als Absolutwert von $x$ .
Der Funktionswert ist immer nichtnegativ: $|x| \geq 0$ .
Die Funktion ist gerade: $|-x| = |x|$ .

Die Definition unterscheidet Eingaben nach ihrem $Vorzeichen$ . Bei einer negativen Eingabe liefert das vorangestellte Minus einen positiven Abstand.

|-3|=-(-3)=3,\qquad|3|=3

Eigenschaften von Absolutwertfunktionen

Aus der Deutung als Abstand folgen diese grundlegenden Eigenschaften:

$Grundlegende Eigenschaften$ :

|x| \geq 0 \text{ für alle } x \in \mathbb{R}

$Eigenschaften der Dreiecksungleichung$ :

|x + y| \leq |x| + |y|

Bei der $Dreiecksungleichung$ ist der Abstand einer Summe höchstens so groß wie die Summe der beiden Abstände. Betrachte zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

|3+(-5)|=2\leq3+5=|3|+|-5|

Graphen von Absolutwertfunktionen

Der Graph der Grundfunktion zeigt $|x|$ als $Abstand von null$ :

Funktionsgraph

f(x) = |x|

Der Graph ist V-förmig und hat seinen Scheitelpunkt im Ursprung.

Wertetabelle für Funktion $f(x) = |x|$ :

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x) = \lvert x \rvert$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

Transformationen von Absolutwertfunktionen

Vertikale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = |x| + k$ $verschiebt den Graphen nach oben$ (wenn $k > 0$ ) oder nach unten (wenn $k < 0$ ).

Vertikale Verschiebung

Vergleich von

f(x) = |x|

mit

g(x) = |x| + 2

und

h(x) = |x| - 2

Horizontale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = |x - h|$ $verschiebt den Graphen nach rechts$ (wenn $h > 0$ ) oder nach links (wenn $h < 0$ ).

Horizontale Verschiebung

Vergleich von

f(x) = |x|

mit

g(x) = |x - 3|

und

h(x) = |x + 3|

Streckung und Stauchung

Die Funktion $f(x) = a|x|$ $verändert je nach Faktor die Steilheit$ und gegebenenfalls die Orientierung des Graphen:

Für $|a| > 1$ wird der Graph steiler.
Für $0 < |a| < 1$ wird der Graph flacher.
Für $a < 0$ wird der Graph zusätzlich an der $x$ -Achse gespiegelt.

Der direkte Vergleich zeigt den Einfluss des Faktors:

Streckung und Stauchung

Vergleich von

f(x) = |x|

mit

g(x) = 2|x|

und

h(x) = 0{,}5|x|

Allgemeine Form von Absolutwertfunktionen

Die allgemeine Form einer Absolutwertfunktion ist:

f(x) = a|x - h| + k

Die Parameter in dieser Form bedeuten:

$a$ steuert Streckung, Stauchung und Spiegelung.
$h$ bestimmt die horizontale Verschiebung.
$k$ bestimmt die vertikale Verschiebung.
Der Scheitelpunkt liegt bei $(h, k)$

$Transformationstabelle$ :

Parameter	Wert	Auswirkung auf den Graphen
$\lvert a \rvert > 1$	Betrag $> 1$	Graph wird steiler
$0 < \lvert a \rvert < 1$	Betrag $< 1$	Graph wird flacher
$a < 0$	Negativ	Graph wird zusätzlich an der $x$ -Achse gespiegelt
$h > 0$	Positiv	Nach rechts verschieben
$h < 0$	Negativ	Nach links verschieben
$k > 0$	Positiv	Nach oben verschieben
$k < 0$	Negativ	Nach unten verschieben

Für einen V-förmigen Graphen gilt $a\neq0$ . Bei Faktor null entsteht eine $waagerechte Gerade$ ohne einen eindeutigen Scheitelpunkt.

Absolutwertgleichungen und Ungleichungen

$Absolutwertgleichungen lösen$ :

So löst du $|x| = a$ mit $a \geq 0$ :

|x| = a \Rightarrow x = a \text{ oder } x = -a

$Beispiel$ : Löse $|x - 3| = 5$

|x - 3| = 5

$Absolutwertungleichungen lösen$ :

Für $|x| < a$ mit $a > 0$ :

|x| < a \Rightarrow -a < x < a

Für $|x| > a$ mit $a > 0$ :

|x| > a \Rightarrow x < -a \text{ oder } x > a

Übungen

Nutze je nach Aufgabe $Funktionswerte, zwei mögliche Vorzeichen oder verschobene Scheitelpunkte$ . In der Abstandsaufgabe werden beide Städte auf einer Geraden modelliert.

Bestimme den Wert von $f(x) = |2x - 6|$ für $x = -1, 0, 3, 5$
Löse die Gleichung $|3x + 1| = 7$
Löse die Ungleichung $|x - 2| < 4$
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = 2|x - 3| + 1$
Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt $150 \text{ km}$ . Wenn sich die Stadt $A$ an der Koordinate $-50 \text{ km}$ befindet, wo befindet sich dann die Stadt $B$ ?

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Ersetze $jeden Wert$ von $x$ in der Funktion $f(x) = |2x - 6|$ :

\begin{aligned} f(-1) &= |2(-1) - 6| \\ &= |-2 - 6| \\ &= |-8| \\ &= 8 \end{aligned}

$Aufgabe 2$ . Für die Gleichung $|3x + 1| = 7$ verwenden wir die Definition des Absolutwerts, die $zwei Möglichkeiten$ ergibt:

3x + 1 = 7 \quad \text{oder} \quad 3x + 1 = -7

$Aufgabe 3$ . Für $|x - 2| < 4$ verwenden wir die Eigenschaft, dass $|a| < b$ äquivalent zu $-b < a < b$ ist:

-4 < x - 2 < 4

Die $Lösungsmenge$ ist also $x \in (-2, 6)$ .

$Aufgabe 4$ . Anhand der Funktion $f(x) = 2|x - 3| + 1$ können wir $die Parameter identifizieren$ :

$a = 2$ (Streckfaktor)
$h = 3$ (horizontale Verschiebung)
$k = 1$ (vertikale Verschiebung)

Der Scheitelpunkt liegt bei $(h, k) = (3, 1)$ .

x-3=0 \Rightarrow x=3,\qquad f(3)=2|3-3|+1=1

$Aufgabe 5$ . Der $Abstand zwischen den Städten$ $A$ und $B$ beträgt $150 \text{ km}$ . Stadt $A$ liegt bei $-50 \text{ km}$ . Die Koordinate von Stadt $B$ nennen wir $x_B$ :

|-50 - x_B| = 150

Die Stadt $B$ kann also an der Koordinate $100 \text{ km}$ oder $-200 \text{ km}$ liegen.