Asymptote

Geraden beschreiben das Grenzverhalten eines Graphen

Eine Asymptote ist $eine Gerade, der sich ein Graph$ in einem bestimmten Grenzprozess annähert. In der Nähe einer senkrechten Asymptote wächst der Funktionswert betragsmäßig ohne Grenze. Bei einer waagerechten oder schrägen Asymptote nähert sich der Abstand zwischen Graph und Gerade für große Beträge der Eingabe dem Wert null.

Ein Graph darf eine waagerechte oder schräge Asymptote bei einem endlichen Eingabewert schneiden. Die Asymptote beschreibt das Grenzverhalten und ist keine unüberwindbare Grenze.

Arten von Asymptoten

Die $Richtung der Geraden$ unterscheidet die drei Asymptotenarten.

Wir unterscheiden drei Arten von Asymptoten. Die Art ergibt sich daraus, wie sich der Graph dem Verlauf nähert. Die drei Arten sind nach der Richtung der Geraden benannt, der sich der Graph nähert.

Vertikale Asymptote

Eine senkrechte Asymptote liegt an einer Stelle, an der der Funktionswert von mindestens einer Seite betragsmäßig unbegrenzt wächst.

$Definition$ : Die Gerade $x = a$ ist eine vertikale Asymptote, wenn mindestens einer der folgenden einseitigen Grenzwerte unendlich ist:

Wenn sich $x$ von links $a$ nähert, $f(x) \to \pm\infty$
Wenn sich $x$ von rechts $a$ nähert, $f(x) \to \pm\infty$

$So wird sie bestimmt$ : Zunächst werden gemeinsame Polynomfaktoren gekürzt. In der vereinfachten rationalen Funktion entsteht eine senkrechte Asymptote, wenn $Q(x) = 0$ und zugleich $P(x) \neq 0$ gilt. Eine Lücke entsteht nur, wenn $alle bei der Eingabe verschwindenden Nennerfaktoren$ vollständig gekürzt werden. Bleibt ein solcher Faktor im Nenner übrig, liegt dort weiterhin eine senkrechte Asymptote.

Ursprünglicher Term	Vereinfachter Term	Verhalten bei eins
$\frac{x-1}{x-1}$	$1,\quad x\neq1$	Lücke
$\frac{x-1}{(x-1)^2}$	$\frac1{x-1},\quad x\neq1$	Senkrechte Asymptote

Horizontale Asymptote

Eine horizontale Asymptote ist eine horizontale Linie, der sich der Graph für $x$ gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.

$Definition$ : Die Gerade $y = b$ ist in jeder Richtung eine horizontale Asymptote, in der der zugehörige Grenzwert gilt:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = b$
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$

Schräge Asymptote

Eine $schräge$ Asymptote hat eine Steigung ungleich null. Bei Steigung null ist die Asymptote waagerecht.

m\neq0

Eine schräge Asymptote ist eine schräge Linie, der sich der Graph für $x$ gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.

$Definition$ : Die Gerade $y = mx + c$ ist in einer Richtung eine schräge Asymptote, wenn die folgende Differenz dort gegen null geht:

\lim_{x \to \infty} [f(x) - (mx + c)] = 0

Asymptoten in rationalen Funktionen

Die $Polynomgrade$ bestimmen das Verhalten rationaler Funktionen für große Eingabebeträge.

Konzentrieren wir uns auf rationale Funktionen $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , wobei $P(x)$ und $Q(x)$ Polynome sind. Bei diesen Funktionen folgt die Asymptote direkt aus den Nullstellen des Nenners und aus dem Grad beider Polynome.

Vertikale Asymptoten bestimmen

$Kürze zuerst gemeinsame Faktoren$ und behalte die ursprüngliche Definitionsmenge bei. Verwende danach in den folgenden Schritten Zähler und Nenner des gekürzten Terms.

$Schritte$ :

Bestimme die Werte von $x$ , für die $Q(x) = 0$ gilt
Prüfe für diese Werte, ob $P(x) \neq 0$ gilt
Ist das der Fall, liegt bei $x = a$ eine senkrechte Asymptote

$Beispiel$ : Bestimme die senkrechte Asymptote von $f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

$Lösung$ :

Der Nenner ist Null, wenn: $x - 2 = 0$ , also $x = 2$
Bei $x = 2$ ist der Zähler $2 + 3 = 5 \neq 0$
Daher ist $x = 2$ eine senkrechte Asymptote.

Betrachten wir das Funktionsverhalten um die vertikale Asymptote:

$x$	$f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$	Beschreibung
$1{,}9$	$\frac{1{,}9 + 3}{1{,}9 - 2} = \frac{4{,}9}{-0{,}1} = -49$	Nähert sich $-\infty$
$1{,}99$	$\frac{4{,}99}{-0{,}01} = -499$	Wird stärker negativ
$2{,}01$	$\frac{5{,}01}{0{,}01} = 501$	Nähert sich $+\infty$
$2{,}1$	$\frac{5{,}1}{0{,}1} = 51$	Wert rechts der Asymptote

Graph von

f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}

mit senkrechter Asymptote

Der Graph nähert sich der senkrechten Geraden

x = 2

von beiden Seiten.

Horizontale Asymptoten finden

$Regeln für rationale Funktionen$ :

Der Zähler habe den Grad $m$ und der Nenner den Grad $n$ .

Wenn $m < n$ : Die horizontale Asymptote ist $y = 0$
Wenn $m = n$ : Die horizontale Asymptote ist $y = \frac{a}{b}$ (Verhältnis der führenden Koeffizienten)
Wenn $m > n$ : Keine horizontale Asymptote (aber es könnte eine schräge Asymptote geben)

$Beispiel$ : Bestimme die waagerechte Asymptote der folgenden Funktionen:

$f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 4}$
$Lösung$ :

Der Zählergrad ist $= 1$ und der Nennergrad ist $= 2$ . Da $1 < 2$ , beträgt die horizontale Asymptote $y = 0$ .
$g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}$
$Lösung$ :

Der Zählergrad ist $= 2$ und der Nennergrad ist $= 2$ . Da die Grade gleich sind, beträgt die horizontale Asymptote $y = \frac{3}{2}$ .

Die folgenden Werte zeigen, wie sich die Funktion der horizontalen Asymptote nähert:

$x$	$g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}$	Annäherung an
$10$	$\frac{3(100) - 1}{2(100) + 5} = \frac{299}{205} \approx 1{,}459$	$1{,}5$
$100$	$\frac{29999}{20005} \approx 1{,}4996$	$1{,}5$
$1000$	$\frac{2999999}{2000005} \approx 1{,}499996$	$1{,}5$

Graph von

g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}

mit waagerechter Asymptote

Für

x \to \pm\infty

nähert sich der Graph der Geraden

y = 1{,}5

Schrägasymptoten finden

Bei $\text{Grad des Zählers} = \text{Grad des Nenners} + 1$ treten schräge Asymptoten auf.

$Vorgehen$ : Führe eine Polynomdivision durch.

$Beispiel$ : Bestimme die schräge Asymptote von $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ .

$Lösung$ : Die Polynomdivision liefert:

Die Polynomdivision verwendet $zwei Subtraktionen$ . Jede Zeile entfernt den Term mit dem höchsten Grad aus dem vorherigen Rest.

Quotiententerm	Produkt mit dem Divisor	Rest
$x$	$x(x-1)=x^2-x$	$(x^2+2x-1)-(x^2-x)=3x-1$
$3$	$3(x-1)=3x-3$	$(3x-1)-(3x-3)=2$

\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} \\ &= x + 3 + \frac{2}{x - 1} \end{aligned}

Bei $x \to \pm\infty$ ist der Term $\frac{2}{x - 1} \to 0$

Daher schräge Asymptote: $y = x + 3$

Graph von

f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}

mit schräger Asymptote

Für

x \to \pm\infty

nähert sich der Graph der Geraden

y = x + 3

Graphen mit Asymptoten zeichnen

Zeichne zuerst die Asymptoten. Eine vertikale Asymptote markiert den Eingabewert, dem sich die Variable nähert, während der Betrag des Funktionswerts unbegrenzt wächst. Eine horizontale oder schiefe Asymptote beschreibt das Endverhalten, wenn der Betrag der Eingabe wächst. Gehe anschließend so vor:

$Bestimme alle Asymptoten$ (senkrecht, waagerecht oder schräg)
$Zeichne die Asymptoten als Hilfslinien$
$Bestimme die Achsenschnittpunkte$
$Berechne einige zusätzliche Punkte$
$Zeichne die Kurvenäste$ passend zu Punkten und Grenzverhalten

$Vollständiges Beispiel$ : Zeichne den Graphen von $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ .

$Schritt 1$ : Asymptoten bestimmen

Vertikale Asymptote: $x = 2$ ( $\text{Nenner} = 0$ )
Horizontale Asymptote: $y = 1$ (gleicher Grad, Koeffizientenverhältnis $= 1/1$ )

$Schritt 2$ : Achsenschnittpunkte bestimmen

$y$ -Achse: $f(0) = \frac{0 + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$
$x$ -Achse: $0 = \frac{x + 1}{x - 2}$ , also $x = -1$

$Schritt 3$ : Verhalten rund um Asymptoten

Bei $x \to 2^-$ : $f(x) \to -\infty$
Bei $x \to 2^+$ : $f(x) \to +\infty$
Bei $x \to \pm\infty$ : $f(x) \to 1$

$Schritt 4$ : Wertetabelle als Hilfe beim Zeichnen

$x$	$f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$	Beschreibung
$-3$	$\frac{-3 + 1}{-3 - 2} = \frac{-2}{-5} = 0{,}4$	Punkt im Quadranten II
$-1$	$\frac{-1 + 1}{-1 - 2} = \frac{0}{-3} = 0$	$x$ -Achsenschnittpunkt
$0$	$\frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -0{,}5$	$y$ -Achsenschnittpunkt
$1$	$\frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2$	Annäherung an die vertikale Asymptote
$3$	$\frac{3 + 1}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4$	Rechts der senkrechten Asymptote
$5$	$\frac{5 + 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$	Annäherung an die horizontale Asymptote

Vollständiger Graph von

f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}

Der Graph hat die senkrechte Asymptote

x = 2

und die waagerechte Asymptote

y = 1

Übungsaufgaben

Prüfe $Nennerfaktoren und den Gradunterschied$ bei jeder Funktion. Alle Funktionen dieser Übungen sind rational.

Bestimme alle Asymptoten von $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 3}$ .
Bestimme die Asymptoten von $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$ .
Die durchschnittliche Kostenfunktion eines Produkts ist $C(x) = \frac{500 + 3x}{x}$ . Bestimme den Grenzwert der Kosten pro Einheit, wenn die Produktion unbegrenzt wächst.
Zeichne eine Skizze des Graphen $h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ einschließlich seiner Asymptoten.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Der Nenner wird bei $x = 3$ null, während der Zähler dort den Wert $2(3)^2 - 3(3) + 1 = 10$ hat. Weil der Zähler nicht ebenfalls null wird, ist $x = 3$ eine $senkrechte Asymptote$ .

Die Polynomdivision trennt das langfristige lineare Verhalten vom Restterm:

\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 3} = 2x + 3 + \frac{10}{x - 3}

Für $x \to \pm\infty$ gilt $\frac{10}{x - 3} \to 0$ . Daher ist $y = 2x + 3$ die schräge Asymptote.

$Aufgabe 2$ . Zähler und Nenner werden zuerst faktorisiert:

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Es gibt keinen $gemeinsamen Faktor$ , der gekürzt werden könnte. Daher sind die Nennernullstellen $x = -3$ und $x = 3$ senkrechte Asymptoten. Die Zählernullstellen $x = -2$ und $x = 2$ sind Schnittpunkte mit der $x$ -Achse. Zähler und Nenner haben denselben Grad und beide Leitkoeffizienten sind $1$ . Somit ist $y = 1$ die waagerechte Asymptote.

$Aufgabe 3$ . Zerlege die Durchschnittskosten in einen von der Produktionsmenge abhängigen und einen konstanten Anteil.

C(x) = \frac{500 + 3x}{x} = \frac{500}{x} + 3

Für $x \to \infty$ gilt $\frac{500}{x} \to 0$ . Daher folgt $C(x) \to 3$ . Die Kosten nähern sich $3$ pro Einheit, erreichen diesen Wert aber für kein $endliches positives$ $x$ .

$Aufgabe 4$ . Der Nenner wird als $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ faktorisiert. Keiner der Faktoren kürzt sich mit dem Zähler. Deshalb sind $x = -1$ und $x = 1$ senkrechte Asymptoten. Da der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, gilt $h(x) \to 0$ für $x \to \pm\infty$ . Die waagerechte Asymptote ist also $y = 0$ .

Die beiden senkrechten Asymptoten teilen den $Definitionsbereich$ in drei Intervalle. $h(x)$ ist für $x < -1$ negativ, für $-1 < x < 0$ positiv, für $0 < x < 1$ negativ und für $x > 1$ positiv. Zusammen mit dem Achsenschnittpunkt $(0,0)$ bestimmen diese Vorzeichen die Lage aller drei Kurvenäste.

Wertetabelle für $h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ :

$x$	$h(x)$	Beschreibung
$-2$	$\frac{-2}{4-1} = -\frac{2}{3}$	Linker Teil
$-0{,}5$	$\frac{-0{,}5}{0{,}25-1} = \frac{2}{3}$	Mittelteil
$0$	$\frac{0}{0-1} = 0$	Achsenschnittpunkt
$0{,}5$	$\frac{0{,}5}{0{,}25-1} = -\frac{2}{3}$	Mittelteil
$2$	$\frac{2}{4-1} = \frac{2}{3}$	Rechter Teil

Graph von

h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}

mit zwei senkrechten Asymptoten

Der Graph hat senkrechte Asymptoten bei

x = -1

und

x = 1

sowie die waagerechte Asymptote

y = 0

Geraden beschreiben das Grenzverhalten eines Graphen

Ein Graph darf eine waagerechte oder schräge Asymptote bei einem endlichen Eingabewert schneiden. Die Asymptote beschreibt das Grenzverhalten und ist keine unüberwindbare Grenze.

Arten von Asymptoten

Die $Richtung der Geraden$ unterscheidet die drei Asymptotenarten.

Wir unterscheiden drei Arten von Asymptoten. Die Art ergibt sich daraus, wie sich der Graph dem Verlauf nähert. Die drei Arten sind nach der Richtung der Geraden benannt, der sich der Graph nähert.

Vertikale Asymptote

Eine senkrechte Asymptote liegt an einer Stelle, an der der Funktionswert von mindestens einer Seite betragsmäßig unbegrenzt wächst.

$Definition$ : Die Gerade $x = a$ ist eine vertikale Asymptote, wenn mindestens einer der folgenden einseitigen Grenzwerte unendlich ist:

Wenn sich $x$ von links $a$ nähert, $f(x) \to \pm\infty$
Wenn sich $x$ von rechts $a$ nähert, $f(x) \to \pm\infty$

Ursprünglicher Term	Vereinfachter Term	Verhalten bei eins
$\frac{x-1}{x-1}$	$1,\quad x\neq1$	Lücke
$\frac{x-1}{(x-1)^2}$	$\frac1{x-1},\quad x\neq1$	Senkrechte Asymptote

Horizontale Asymptote

Eine horizontale Asymptote ist eine horizontale Linie, der sich der Graph für $x$ gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.

$Definition$ : Die Gerade $y = b$ ist in jeder Richtung eine horizontale Asymptote, in der der zugehörige Grenzwert gilt:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = b$
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$

Schräge Asymptote

Eine $schräge$ Asymptote hat eine Steigung ungleich null. Bei Steigung null ist die Asymptote waagerecht.

m\neq0

Eine schräge Asymptote ist eine schräge Linie, der sich der Graph für $x$ gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.

$Definition$ : Die Gerade $y = mx + c$ ist in einer Richtung eine schräge Asymptote, wenn die folgende Differenz dort gegen null geht:

\lim_{x \to \infty} [f(x) - (mx + c)] = 0

Asymptoten in rationalen Funktionen

Die $Polynomgrade$ bestimmen das Verhalten rationaler Funktionen für große Eingabebeträge.

Vertikale Asymptoten bestimmen

$Kürze zuerst gemeinsame Faktoren$ und behalte die ursprüngliche Definitionsmenge bei. Verwende danach in den folgenden Schritten Zähler und Nenner des gekürzten Terms.

$Schritte$ :

Bestimme die Werte von $x$ , für die $Q(x) = 0$ gilt
Prüfe für diese Werte, ob $P(x) \neq 0$ gilt
Ist das der Fall, liegt bei $x = a$ eine senkrechte Asymptote

$Beispiel$ : Bestimme die senkrechte Asymptote von $f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

$Lösung$ :

Der Nenner ist Null, wenn: $x - 2 = 0$ , also $x = 2$
Bei $x = 2$ ist der Zähler $2 + 3 = 5 \neq 0$
Daher ist $x = 2$ eine senkrechte Asymptote.

Betrachten wir das Funktionsverhalten um die vertikale Asymptote:

$x$	$f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$	Beschreibung
$1{,}9$	$\frac{1{,}9 + 3}{1{,}9 - 2} = \frac{4{,}9}{-0{,}1} = -49$	Nähert sich $-\infty$
$1{,}99$	$\frac{4{,}99}{-0{,}01} = -499$	Wird stärker negativ
$2{,}01$	$\frac{5{,}01}{0{,}01} = 501$	Nähert sich $+\infty$
$2{,}1$	$\frac{5{,}1}{0{,}1} = 51$	Wert rechts der Asymptote

Graph von

f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}

mit senkrechter Asymptote

Der Graph nähert sich der senkrechten Geraden

x = 2

von beiden Seiten.

Horizontale Asymptoten finden

$Regeln für rationale Funktionen$ :

Der Zähler habe den Grad $m$ und der Nenner den Grad $n$ .

Wenn $m < n$ : Die horizontale Asymptote ist $y = 0$
Wenn $m = n$ : Die horizontale Asymptote ist $y = \frac{a}{b}$ (Verhältnis der führenden Koeffizienten)
Wenn $m > n$ : Keine horizontale Asymptote (aber es könnte eine schräge Asymptote geben)

$Beispiel$ : Bestimme die waagerechte Asymptote der folgenden Funktionen:

$f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 4}$
$Lösung$ :

Der Zählergrad ist $= 1$ und der Nennergrad ist $= 2$ . Da $1 < 2$ , beträgt die horizontale Asymptote $y = 0$ .
$g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}$
$Lösung$ :

Der Zählergrad ist $= 2$ und der Nennergrad ist $= 2$ . Da die Grade gleich sind, beträgt die horizontale Asymptote $y = \frac{3}{2}$ .

Die folgenden Werte zeigen, wie sich die Funktion der horizontalen Asymptote nähert:

$x$	$g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}$	Annäherung an
$10$	$\frac{3(100) - 1}{2(100) + 5} = \frac{299}{205} \approx 1{,}459$	$1{,}5$
$100$	$\frac{29999}{20005} \approx 1{,}4996$	$1{,}5$
$1000$	$\frac{2999999}{2000005} \approx 1{,}499996$	$1{,}5$

Graph von

g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}

mit waagerechter Asymptote

Für

x \to \pm\infty

nähert sich der Graph der Geraden

y = 1{,}5

Schrägasymptoten finden

Bei $\text{Grad des Zählers} = \text{Grad des Nenners} + 1$ treten schräge Asymptoten auf.

$Vorgehen$ : Führe eine Polynomdivision durch.

$Beispiel$ : Bestimme die schräge Asymptote von $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ .

$Lösung$ : Die Polynomdivision liefert:

Die Polynomdivision verwendet $zwei Subtraktionen$ . Jede Zeile entfernt den Term mit dem höchsten Grad aus dem vorherigen Rest.

Quotiententerm	Produkt mit dem Divisor	Rest
$x$	$x(x-1)=x^2-x$	$(x^2+2x-1)-(x^2-x)=3x-1$
$3$	$3(x-1)=3x-3$	$(3x-1)-(3x-3)=2$

\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} \\ &= x + 3 + \frac{2}{x - 1} \end{aligned}

Bei $x \to \pm\infty$ ist der Term $\frac{2}{x - 1} \to 0$

Daher schräge Asymptote: $y = x + 3$

Graph von

f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}

mit schräger Asymptote

Für

x \to \pm\infty

nähert sich der Graph der Geraden

y = x + 3

Graphen mit Asymptoten zeichnen

$Bestimme alle Asymptoten$ (senkrecht, waagerecht oder schräg)
$Zeichne die Asymptoten als Hilfslinien$
$Bestimme die Achsenschnittpunkte$
$Berechne einige zusätzliche Punkte$
$Zeichne die Kurvenäste$ passend zu Punkten und Grenzverhalten

$Vollständiges Beispiel$ : Zeichne den Graphen von $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ .

$Schritt 1$ : Asymptoten bestimmen

Vertikale Asymptote: $x = 2$ ( $\text{Nenner} = 0$ )
Horizontale Asymptote: $y = 1$ (gleicher Grad, Koeffizientenverhältnis $= 1/1$ )

$Schritt 2$ : Achsenschnittpunkte bestimmen

$y$ -Achse: $f(0) = \frac{0 + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$
$x$ -Achse: $0 = \frac{x + 1}{x - 2}$ , also $x = -1$

$Schritt 3$ : Verhalten rund um Asymptoten

Bei $x \to 2^-$ : $f(x) \to -\infty$
Bei $x \to 2^+$ : $f(x) \to +\infty$
Bei $x \to \pm\infty$ : $f(x) \to 1$

$Schritt 4$ : Wertetabelle als Hilfe beim Zeichnen

$x$	$f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$	Beschreibung
$-3$	$\frac{-3 + 1}{-3 - 2} = \frac{-2}{-5} = 0{,}4$	Punkt im Quadranten II
$-1$	$\frac{-1 + 1}{-1 - 2} = \frac{0}{-3} = 0$	$x$ -Achsenschnittpunkt
$0$	$\frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -0{,}5$	$y$ -Achsenschnittpunkt
$1$	$\frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2$	Annäherung an die vertikale Asymptote
$3$	$\frac{3 + 1}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4$	Rechts der senkrechten Asymptote
$5$	$\frac{5 + 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$	Annäherung an die horizontale Asymptote

Vollständiger Graph von

f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}

Der Graph hat die senkrechte Asymptote

x = 2

und die waagerechte Asymptote

y = 1

Übungsaufgaben

Prüfe $Nennerfaktoren und den Gradunterschied$ bei jeder Funktion. Alle Funktionen dieser Übungen sind rational.

Bestimme alle Asymptoten von $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 3}$ .
Bestimme die Asymptoten von $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$ .
Die durchschnittliche Kostenfunktion eines Produkts ist $C(x) = \frac{500 + 3x}{x}$ . Bestimme den Grenzwert der Kosten pro Einheit, wenn die Produktion unbegrenzt wächst.
Zeichne eine Skizze des Graphen $h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ einschließlich seiner Asymptoten.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Der Nenner wird bei $x = 3$ null, während der Zähler dort den Wert $2(3)^2 - 3(3) + 1 = 10$ hat. Weil der Zähler nicht ebenfalls null wird, ist $x = 3$ eine $senkrechte Asymptote$ .

Die Polynomdivision trennt das langfristige lineare Verhalten vom Restterm:

\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 3} = 2x + 3 + \frac{10}{x - 3}

Für $x \to \pm\infty$ gilt $\frac{10}{x - 3} \to 0$ . Daher ist $y = 2x + 3$ die schräge Asymptote.

$Aufgabe 2$ . Zähler und Nenner werden zuerst faktorisiert:

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

$Aufgabe 3$ . Zerlege die Durchschnittskosten in einen von der Produktionsmenge abhängigen und einen konstanten Anteil.

C(x) = \frac{500 + 3x}{x} = \frac{500}{x} + 3

Für $x \to \infty$ gilt $\frac{500}{x} \to 0$ . Daher folgt $C(x) \to 3$ . Die Kosten nähern sich $3$ pro Einheit, erreichen diesen Wert aber für kein $endliches positives$ $x$ .

Wertetabelle für $h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ :

$x$	$h(x)$	Beschreibung
$-2$	$\frac{-2}{4-1} = -\frac{2}{3}$	Linker Teil
$-0{,}5$	$\frac{-0{,}5}{0{,}25-1} = \frac{2}{3}$	Mittelteil
$0$	$\frac{0}{0-1} = 0$	Achsenschnittpunkt
$0{,}5$	$\frac{0{,}5}{0{,}25-1} = -\frac{2}{3}$	Mittelteil
$2$	$\frac{2}{4-1} = \frac{2}{3}$	Rechter Teil

Graph von

h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}

mit zwei senkrechten Asymptoten

Der Graph hat senkrechte Asymptoten bei

x = -1

und

x = 1

sowie die waagerechte Asymptote

y = 0