Den gesuchten Exponenten als Logarithmus schreiben
Ein Logarithmus beantwortet eine konkrete Frage: Welcher Exponent erzeugt einen bestimmten Wert? In diesem Sinn machen logarithmische und einander rückgängig.
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Ausgangspunkt ist diese Exponentialgleichung:
Der Exponent, der in verwandelt, ist . Die logarithmische Schreibweise hält dieselbe Beziehung aus der umgekehrten Richtung fest:
Allgemein hängen exponentielle und logarithmische Schreibweise so zusammen:
Eine logarithmische Funktion zur Basis mit und hat die Form:
| Name | Basis | Schreibweise und Beispiel | Begründung |
|---|---|---|---|
| Zehnerlogarithmus | |||
| Natürlicher Logarithmus | |||
| Binärer Logarithmus |
Das Vertauschen der Koordinaten erklärt die Spiegelung. Aus dem Punkt auf dem Exponentialgraphen wird der Punkt auf dem Logarithmusgraphen. Jede Eingabe des Logarithmus bleibt positiv.
Eigenschaften des Graphen von für :
Jede Eigenschaft ergibt sich aus der Definition des Logarithmus als Umkehrung der Exponentialfunktion, weil das Rückgängigmachen auch deren Rechenregeln rückgängig macht. Die grundlegenden Eigenschaften betreffen einen einzelnen Wert, die Recheneigenschaften ein Produkt, einen Quotienten oder eine Potenz.
Die ersten beiden Identitäten beschreiben die Exponenten null und eins. Die nächsten beiden heben Logarithmus und Exponentialfunktion bei gleicher Basis auf.
Diese Regeln benötigen positive Argumente: . Für beide Basen gilt und . Der Exponent darf jede reelle Zahl sein.
Eine Multiplikation im Logarithmus wird zum Beispiel zur Addition zweier Logarithmuswerte.
Das indonesische Gesundheitsministerium, kurz Kemenkes, meldete am 2. März 2020 zwei bestätigte COVID-19-Fälle.
Am 30. April 2020 meldete das Ministerium insgesamt 10.118 bestätigte Fälle.
Zwischen beiden Meldungen liegen .
Um Logarithmen anzuwenden, passen wir eine einfache Exponentialkurve an diese beiden gemeldeten Werte an. Dabei bezeichnet die seit dem 2. März vergangenen Tage und die Fallzahl auf der Kurve. Aus und folgt:
Um die Rate aus den beiden Datenpunkten zu bestimmen, beginnen wir mit folgendem Modell. Die erste Meldung bestimmt den Anfangsfaktor. Die Meldung nach 59 Tagen bestimmt die Rate.
Wird die angepasste Rate fortgeschrieben, erreicht die Kurve den Schwellenwert laut logarithmischer Rechnung bei:
Das bleibt eine mathematische Illustration innerhalb dieses Modells. Bestätigte Fallzahlen hängen auch von Tests, Meldesystemen, Verhalten und gesundheitspolitischen Maßnahmen ab. Eine feste exponentielle Rate darf deshalb nicht unbegrenzt fortgeschrieben werden.
Diese vier Aufgaben führen vom Lesen eines einzelnen Logarithmus bis zum Lösen eines exponentiellen Modells. Rechne jede Aufgabe vor den Lösungen und prüfe deine Antworten danach an den Rechenschritten.
Bestimme den Wert von , und .
Wenn , bestimme den Wert von .
Vereinfache:
Eine Investition wächst nach der Formel (in Millionen Rupiah). Wie viele Jahre sind nötig, bis die Investition beträgt?
Aufgabe 1. Jeder Logarithmus ist als Frage nach einem Exponenten zu lesen. Die gesuchten Potenzen sind:
Aufgabe 2. Die logarithmische Gleichung wird in die exponentielle Form umgeschrieben:
Mit ergibt die Probe . Das Ergebnis stimmt also.
Aufgabe 3. Die drei Potenzen zur Basis werden bestimmt und anschließend verrechnet:
Aufgabe 4. In der Formel wird in Millionen Rupiah angegeben. Daher gilt . Nun wird der Zielwert eingesetzt und der Exponentialterm freigestellt:
Die Investition erreicht den Zielwert nach .
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