For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Ein Logarithmus beantwortet eine konkrete Frage: Welcher Exponent erzeugt einen bestimmten Wert? In diesem Sinn machen logarithmische und exponentielle Funktionen einander rückgängig.
Ausgangspunkt ist diese Exponentialgleichung:
Der Exponent, der in verwandelt, ist . Die logarithmische Schreibweise hält dieselbe Beziehung aus der umgekehrten Richtung fest:
Allgemein hängen exponentielle und logarithmische Schreibweise so zusammen:
Eine logarithmische Funktion zur Basis mit und hat die Form:
Drei Basen kommen besonders häufig vor:
Zehnerlogarithmus (Basis ):
Beispiel: weil
Natürlicher Logarithmus (Basis ):
Beispiel: weil
Binärer Logarithmus (Basis ):
Beispiel: weil
Eigenschaften des Graphen von für :
Das indonesische Gesundheitsministerium meldete am 2. März 2020 zwei bestätigte COVID-19-Fälle. Später
meldete es am 30. April 2020 insgesamt 10.118 bestätigte Fälle. Zwischen beiden Meldungen liegen .
Um Logarithmen anzuwenden, passen wir eine einfache Exponentialkurve an diese beiden gemeldeten Werte an. Dabei bezeichnet die seit dem 2. März vergangenen Tage und die Fallzahl auf der Kurve. Aus und folgt:
Wird die angepasste Rate fortgeschrieben, erreicht die Kurve den Schwellenwert laut logarithmischer Rechnung bei:
Das ist eine mathematische Illustration, keine epidemiologische Prognose. Bestätigte Fallzahlen hängen auch von Tests, Meldesystemen, Verhalten und gesundheitspolitischen Maßnahmen ab. Eine feste exponentielle Rate darf deshalb nicht unbegrenzt fortgeschrieben werden.
Bestimmen Sie den Wert von:
Wenn , bestimmen Sie den Wert von .
Vereinfachen Sie:
Eine Investition wächst nach der Formel (in Millionen Rupiah). Wie viele Jahre sind nötig, bis die Investition beträgt?
Jeder Logarithmus ist als Frage nach einem Exponenten zu lesen. Die gesuchten Potenzen sind:
Zuerst wird die logarithmische Gleichung in die exponentielle Form umgeschrieben:
Zunächst werden die drei Potenzen zur Basis bestimmt und anschließend verrechnet:
In der Formel wird in Millionen Rupiah angegeben. Daher gilt . Nun wird der Zielwert eingesetzt und der Exponentialterm freigestellt:
Mit ergibt die Probe . Das Ergebnis stimmt also.
Die Investition erreicht den Zielwert nach .
