For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Ein logarithmischer Graph verändert sich nahe seiner senkrechten Asymptote stark und bei wachsender Eingabe immer langsamer. Diese Form entsteht, wenn eine Ausgabe den Logarithmus eines positiven Verhältnisses beschreibt, etwa bei Schallpegel- und pH-Skalen. Im Mittelpunkt stehen hier der Einfluss der Basis und die Verschiebung des Graphen durch Transformationen.
Vergleichen wir den Grundgraphen für mehrere Basen. Alle gezeigten Graphen steigen, aber unterschiedlich schnell.
Für Funktion mit :
Zwei Wertetabellen zeigen, wie sich ein steigender und ein fallender logarithmischer Graph zeichnen lassen.
Graph von
Für die Wertetabelle wählen wir -Werte, die Potenzen von sind. Dann lassen sich die Logarithmen direkt ablesen:
Graph von
Für eine Basis mit fällt der Graph:
Im selben Koordinatensystem wird der Einfluss der Basis besonders deutlich:
| Eigenschaft | ||
|---|---|---|
| Verlauf | Streng monoton steigend | Streng monoton fallend |
| Definitionsbereich | ||
| Wertebereich | Alle reellen Zahlen | Alle reellen Zahlen |
| -Achsenabschnitt | ||
| Vertikale Asymptote |
Logarithmische Graphen können auf verschiedene Arten transformiert werden:
Eine außerhalb des Logarithmus addierte Konstante verschiebt den Graphen in vertikaler Richtung.
Eine im Argument eingetragene Konstante verschiebt den Graphen in horizontaler Richtung.
Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Graphen von:
Bestimme Definitionsbereich, Wertebereich und Asymptote der Funktion .
Für und sind zu bestimmen:
Skizziere den Graphen von und bestimme seinen Schnittpunkt mit der -Achse.
Wertetabellen:
Für :
Für :
Trage alle Punkte ein und verbinde sie zu einer glatten Kurve, die rechts von der senkrechten Asymptote bleibt. Der Graph zur Basis steigt, während der Graph zur Basis fällt.
Für :
Der Logarithmus ist nur für ein positives Argument definiert. Die Grenze dieser Bedingung liefert die senkrechte Asymptote:
Für :
Wird durch ersetzt, verschiebt sich der Graph nach rechts. Derselbe Ausdruck muss außerdem positiv bleiben:
Für :
Die Addition von außerhalb des Logarithmus verschiebt jeden Punkt nach oben, ohne Definitionsbereich oder Asymptote zu verändern:
Ein Schnittpunkt mit der -Achse würde insbesondere voraussetzen. Dort ist der Logarithmus jedoch nicht definiert. Der folgende Graph bestätigt, dass sich die Kurve der -Achse nur nähert.
