Graphen logarithmischer Funktionen

Wie die Basis den logarithmischen Graphen beeinflusst

Ein logarithmischer Graph $verändert sich nahe seiner senkrechten Asymptote stark$ und bei wachsender Eingabe immer langsamer. Diese Form entsteht, wenn eine Ausgabe den Logarithmus eines positiven Verhältnisses beschreibt, etwa bei Schallpegel- und pH-Skalen. Die Basis bestimmt, ob der Graph steigt oder fällt, während Transformationen den Graphen und seine Asymptote verschieben.

Eigenschaften von Graphen logarithmischer Funktionen

Der folgende Graph vergleicht $y = \log_b x$ für mehrere Basen größer als $1$ . $Alle Graphen$ verlaufen durch $(1,0)$ und steigen unterschiedlich schnell.

Vergleich logarithmischer Graphen mit unterschiedlichen Basen

Graphen logarithmischer Funktionen für

b > 1

Eigenschaften des Graphen

Für $f(x) = \log_b x$ mit $b>0,\ b\neq1$ gilt $der Definitionsbereich nur für positive Eingaben$ . Die Richtung des Graphen hängt davon ab, ob die Basis größer oder kleiner als $1$ ist.

Merkmal	Verhalten des Graphen
Definitionsbereich	$x>0$
Wertebereich	Alle reellen Zahlen, $-\infty<y<\infty$
Schnittpunkt mit der $x$ -Achse	Verläuft durch $(1,0)$ , weil $\log_b1=0$ ist
Senkrechte Asymptote	Nähert sich bei $x=0$ der $y$ -Achse
Basis $b>1$	Streng monoton steigend
Basis $0<b<1$	Streng monoton fallend

Zeichnen logarithmischer Funktionsgraphen

Wähle $Potenzen der Basis$ als Eingaben. Zur Eingabe $b^n$ gehört die Ausgabe $n$ . So erhältst du genaue Punkte ohne Rundung.

Auch negative Potenzen liefern zulässige positive Eingaben. Bei der Basis zwei ergibt die Eingabe ein Viertel den Funktionswert minus zwei.

2^{-2}=\frac14 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2\frac14=-2

Graph zur Basis Zwei

Für die Wertetabelle wählen wir $x$ -Werte, die $Potenzen$ von $2$ sind. Dann lassen sich die Logarithmen direkt ablesen:

$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y = \log_2 x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Graph von

y = \log_2 x

Die markierten Punkte stammen aus der Wertetabelle und liegen auf dem steigenden Graphen.

Graph zur Basis Ein Drittel

Für eine Basis mit $0 < b < 1$ $fällt$ der Graph:

$x$	$\frac{1}{27}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$	$27$
$y = \log_{\frac{1}{3}} x$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$

Graph von

y = \log_{\frac{1}{3}} x

Der Graph fällt, weil die Basis zwischen

0

und

1

liegt.

Logarithmische Graphen vergleichen

Graphen zu reziproken Basen haben $entgegengesetzte Ausgaben$ . Wegen $\log(1/2)=-\log 2$ sind die beiden Kurven unten Spiegelbilder an der waagerechten Achse.

\log_{1/2}x=-\log_2x

Vergleich logarithmischer Graphen für

b > 1

und

0 < b < 1

Der eine Graph steigt, der andere fällt. Beide nähern sich der senkrechten Asymptote.

Eigenschaft	$b > 1$	$0 < b < 1$
Verlauf	Streng monoton steigend	Streng monoton fallend
Definitionsbereich	$x > 0$	$x > 0$
Wertebereich	Alle reellen Zahlen	Alle reellen Zahlen
$x$ -Achsenabschnitt	$(1, 0)$	$(1, 0)$
Vertikale Asymptote	$x = 0$	$x = 0$

Transformationen logarithmischer Graphen

Eine $vertikale Verschiebung$ bewegt die ganze Kurve und lässt die senkrechte Asymptote bei $x = 0$ . Eine horizontale Verschiebung verschiebt stattdessen die Asymptote zusammen mit dem $x$ -Achsenabschnitt nach rechts oder links, der ganze Graph wandert also seitwärts.

Vertikale Verschiebung

Addiere eine Konstante $außerhalb des Logarithmus$ , um alle Ausgaben zu verschieben. Definitionsbereich und senkrechte Asymptote bleiben gleich. Für den waagerechten Achsenabschnitt gilt jedoch $\log_b x=-k$ , also $x=b^{-k}$ .

y = \log_b x + k

Vertikale Verschiebung

Der Graph verschiebt sich nach oben, wenn

k > 0

gilt, und nach unten, wenn

k < 0

Horizontale Verschiebung

Ersetze die Eingabe durch das $Argument$ $x-h$ , um den Graphen zu verschieben. Aus $x-h>0$ folgen der Definitionsbereich $x>h$ und die Asymptote $x=h$ . Der waagerechte Achsenabschnitt wandert von $1$ zu $h+1$ .

y = \log_b (x - h)

Horizontale Verschiebung

Der Graph verschiebt sich nach rechts, wenn

h > 0

gilt, und nach links, wenn

h < 0

Übungen

Diese Aufgaben verbinden die Bedingung eines $positiven Arguments$ mit Definitionsbereich, Asymptote und Verschiebungsrichtung. Bestimme vor der Skizze genaue Punkte mithilfe von Potenzen der Basis.

Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Graphen von:
- $y = \log_3 x$
- $y = \log_{\frac{1}{2}} x$
Bestimme Definitionsbereich, Wertebereich und Asymptote der Funktion $f(x) = \log_5 (x + 3)$ .
Für $f(x) = \log_2 x$ und $g(x) = \log_2 (x - 4)$ sind zu bestimmen:
- die Verschiebung des Graphen $g(x)$ gegenüber $f(x)$
- der Definitionsbereich von $g(x)$
Skizziere den Graphen von $y = \log_3 x + 2$ und bestimme seinen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Für $y = \log_3 x$ :

$x$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$y$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Für $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ :

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$y$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

Trage alle Punkte ein und verbinde sie zu einer $glatten Kurve$ , die rechts von der senkrechten Asymptote $x=0$ bleibt. Der Graph zur Basis $3$ steigt, während der Graph zur Basis $\frac{1}{2}$ fällt.

$Aufgabe 2$ . Der Logarithmus ist nur für ein positives Argument definiert. Die Grenze dieser Bedingung liefert die senkrechte Asymptote:

Definitionsbereich: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
Wertebereich: alle reellen Zahlen
Vertikale Asymptote: $x = -3$

Die Grenze gehört nicht zum Definitionsbereich, denn ein Logarithmus benötigt ein $positives Argument$ . Minus zwei ist zulässig, minus drei macht das Argument jedoch null.

(-2)+3=1>0,\qquad (-3)+3=0

$Aufgabe 3$ . Wird $x$ durch $x-4$ ersetzt, verschiebt sich der Graph nach rechts. Derselbe Ausdruck muss außerdem positiv bleiben:

Verschiebung: $4 \text{ Einheiten}$ nach rechts
Definitionsbereich: $x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$

Prüfe den Schnittpunkt mit der waagerechten Achse: Aus der ursprünglichen $Eingabe$ eins wird fünf. Der Funktionswert bleibt null.

\log_b(5-4)=\log_b1=0,\qquad b>0,\ b\ne1

$Aufgabe 4$ . Die Addition von $2$ außerhalb des Logarithmus verschiebt jeden Punkt nach oben, ohne $Definitionsbereich$ oder Asymptote zu verändern:

Der Graph von $y = \log_3 x$ wird um $2 \text{ Einheiten}$ nach oben verschoben
Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse, weil der Definitionsbereich $x > 0$ ist

Ein Schnittpunkt mit der $y$ -Achse würde insbesondere $x=0$ voraussetzen. Dort ist der Logarithmus jedoch nicht definiert. Der folgende Graph bestätigt, dass sich die Kurve der $y$ -Achse nur nähert.

Skizze des Graphen von

y = \log_3 x + 2

Der Graph zur Basis

3

ist um

2 \text{ Einheiten}

nach oben verschoben.

Wie die Basis den logarithmischen Graphen beeinflusst

Eigenschaften von Graphen logarithmischer Funktionen

Der folgende Graph vergleicht $y = \log_b x$ für mehrere Basen größer als $1$ . $Alle Graphen$ verlaufen durch $(1,0)$ und steigen unterschiedlich schnell.

Vergleich logarithmischer Graphen mit unterschiedlichen Basen

Graphen logarithmischer Funktionen für

b > 1

Eigenschaften des Graphen

Für $f(x) = \log_b x$ mit $b>0,\ b\neq1$ gilt $der Definitionsbereich nur für positive Eingaben$ . Die Richtung des Graphen hängt davon ab, ob die Basis größer oder kleiner als $1$ ist.

Merkmal	Verhalten des Graphen
Definitionsbereich	$x>0$
Wertebereich	Alle reellen Zahlen, $-\infty<y<\infty$
Schnittpunkt mit der $x$ -Achse	Verläuft durch $(1,0)$ , weil $\log_b1=0$ ist
Senkrechte Asymptote	Nähert sich bei $x=0$ der $y$ -Achse
Basis $b>1$	Streng monoton steigend
Basis $0<b<1$	Streng monoton fallend

Zeichnen logarithmischer Funktionsgraphen

Wähle $Potenzen der Basis$ als Eingaben. Zur Eingabe $b^n$ gehört die Ausgabe $n$ . So erhältst du genaue Punkte ohne Rundung.

Auch negative Potenzen liefern zulässige positive Eingaben. Bei der Basis zwei ergibt die Eingabe ein Viertel den Funktionswert minus zwei.

2^{-2}=\frac14 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2\frac14=-2

Graph zur Basis Zwei

Für die Wertetabelle wählen wir $x$ -Werte, die $Potenzen$ von $2$ sind. Dann lassen sich die Logarithmen direkt ablesen:

$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y = \log_2 x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Graph von

y = \log_2 x

Die markierten Punkte stammen aus der Wertetabelle und liegen auf dem steigenden Graphen.

Graph zur Basis Ein Drittel

Für eine Basis mit $0 < b < 1$ $fällt$ der Graph:

$x$	$\frac{1}{27}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$	$27$
$y = \log_{\frac{1}{3}} x$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$

Graph von

y = \log_{\frac{1}{3}} x

Der Graph fällt, weil die Basis zwischen

0

und

1

liegt.

Logarithmische Graphen vergleichen

Graphen zu reziproken Basen haben $entgegengesetzte Ausgaben$ . Wegen $\log(1/2)=-\log 2$ sind die beiden Kurven unten Spiegelbilder an der waagerechten Achse.

\log_{1/2}x=-\log_2x

Vergleich logarithmischer Graphen für

b > 1

und

0 < b < 1

Der eine Graph steigt, der andere fällt. Beide nähern sich der senkrechten Asymptote.

Eigenschaft	$b > 1$	$0 < b < 1$
Verlauf	Streng monoton steigend	Streng monoton fallend
Definitionsbereich	$x > 0$	$x > 0$
Wertebereich	Alle reellen Zahlen	Alle reellen Zahlen
$x$ -Achsenabschnitt	$(1, 0)$	$(1, 0)$
Vertikale Asymptote	$x = 0$	$x = 0$

Transformationen logarithmischer Graphen

Vertikale Verschiebung

y = \log_b x + k

Vertikale Verschiebung

Der Graph verschiebt sich nach oben, wenn

k > 0

gilt, und nach unten, wenn

k < 0

Horizontale Verschiebung

y = \log_b (x - h)

Horizontale Verschiebung

Der Graph verschiebt sich nach rechts, wenn

h > 0

gilt, und nach links, wenn

h < 0

Übungen

Diese Aufgaben verbinden die Bedingung eines $positiven Arguments$ mit Definitionsbereich, Asymptote und Verschiebungsrichtung. Bestimme vor der Skizze genaue Punkte mithilfe von Potenzen der Basis.

Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Graphen von:
- $y = \log_3 x$
- $y = \log_{\frac{1}{2}} x$
Bestimme Definitionsbereich, Wertebereich und Asymptote der Funktion $f(x) = \log_5 (x + 3)$ .
Für $f(x) = \log_2 x$ und $g(x) = \log_2 (x - 4)$ sind zu bestimmen:
- die Verschiebung des Graphen $g(x)$ gegenüber $f(x)$
- der Definitionsbereich von $g(x)$
Skizziere den Graphen von $y = \log_3 x + 2$ und bestimme seinen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Für $y = \log_3 x$ :

$x$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$y$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Für $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ :

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$y$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

$Aufgabe 2$ . Der Logarithmus ist nur für ein positives Argument definiert. Die Grenze dieser Bedingung liefert die senkrechte Asymptote:

Definitionsbereich: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
Wertebereich: alle reellen Zahlen
Vertikale Asymptote: $x = -3$

Die Grenze gehört nicht zum Definitionsbereich, denn ein Logarithmus benötigt ein $positives Argument$ . Minus zwei ist zulässig, minus drei macht das Argument jedoch null.

(-2)+3=1>0,\qquad (-3)+3=0

$Aufgabe 3$ . Wird $x$ durch $x-4$ ersetzt, verschiebt sich der Graph nach rechts. Derselbe Ausdruck muss außerdem positiv bleiben:

Verschiebung: $4 \text{ Einheiten}$ nach rechts
Definitionsbereich: $x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$

Prüfe den Schnittpunkt mit der waagerechten Achse: Aus der ursprünglichen $Eingabe$ eins wird fünf. Der Funktionswert bleibt null.

\log_b(5-4)=\log_b1=0,\qquad b>0,\ b\ne1

$Aufgabe 4$ . Die Addition von $2$ außerhalb des Logarithmus verschiebt jeden Punkt nach oben, ohne $Definitionsbereich$ oder Asymptote zu verändern:

Der Graph von $y = \log_3 x$ wird um $2 \text{ Einheiten}$ nach oben verschoben
Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse, weil der Definitionsbereich $x > 0$ ist

Skizze des Graphen von

y = \log_3 x + 2

Der Graph zur Basis

3

ist um

2 \text{ Einheiten}

nach oben verschoben.