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Für jede reelle Zahl ist die Absolutwertfunktion wie folgt definiert:
Komponenten von Absolutwertfunktionen:
Die Definition unterscheidet Eingaben nach ihrem Vorzeichen. Bei einer negativen Eingabe liefert das vorangestellte Minus einen positiven Abstand.
Aus der Deutung als Abstand folgen diese grundlegenden Eigenschaften:
Grundlegende Eigenschaften:
Eigenschaften der Dreiecksungleichung:
Bei der Dreiecksungleichung ist der Abstand einer Summe höchstens so groß wie die Summe der beiden Abstände. Betrachte zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
Der Graph der Grundfunktion zeigt als Abstand von null:
Wertetabelle für Funktion :
Eine Verschiebung versetzt den Scheitelpunkt, ohne die Öffnungsrichtung zu ändern. Eine Streckung verändert die Steigungen der beiden Arme des V. Die Spiegelung an der waagerechten Achse öffnet den Graphen nach unten. Diese Operationen lassen sich auf die Grundfunktion anwenden und kombinieren.
Die Funktion verschiebt den Graphen nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
Die Funktion verschiebt den Graphen nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ).
Die Funktion verändert je nach Faktor die Steilheit und gegebenenfalls die Orientierung des Graphen:
Der direkte Vergleich zeigt den Einfluss des Faktors:
Die allgemeine Form einer Absolutwertfunktion ist:
Die Parameter in dieser Form bedeuten:
Transformationstabelle:
| Parameter | Wert | Auswirkung auf den Graphen |
|---|---|---|
| Betrag | Graph wird steiler | |
| Betrag | Graph wird flacher | |
| Negativ | Graph wird zusätzlich an der -Achse gespiegelt | |
| Positiv | Nach rechts verschieben | |
| Negativ | Nach links verschieben | |
| Positiv | Nach oben verschieben | |
| Negativ | Nach unten verschieben |
Für einen V-förmigen Graphen gilt . Bei Faktor null entsteht eine waagerechte Gerade ohne einen eindeutigen Scheitelpunkt.
Absolutwertgleichungen lösen:
So löst du mit :
Beispiel: Löse
Absolutwertungleichungen lösen:
Für mit :
Für mit :
Nutze je nach Aufgabe Funktionswerte, zwei mögliche Vorzeichen oder verschobene Scheitelpunkte. In der Abstandsaufgabe werden beide Städte auf einer Geraden modelliert.
Bestimme den Wert von für
Löse die Gleichung
Löse die Ungleichung
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion
Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt . Wenn sich die Stadt an der Koordinate befindet, wo befindet sich dann die Stadt ?
Aufgabe 1. Ersetze jeden Wert von in der Funktion :
Aufgabe 2. Für die Gleichung verwenden wir die Definition des Absolutwerts, die zwei Möglichkeiten ergibt:
Aufgabe 3. Für verwenden wir die Eigenschaft, dass äquivalent zu ist:
Die Lösungsmenge ist also .
Aufgabe 4. Anhand der Funktion können wir die Parameter identifizieren:
Der Scheitelpunkt liegt bei .
Ein Betrag erreicht seinen kleinsten Wert, wenn der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche null ist. Bestimme diese Eingabe und berechne den Funktionswert, um beide Koordinaten des Scheitelpunkts zu erhalten.
Aufgabe 5. Der Abstand zwischen den Städten und beträgt . Stadt liegt bei . Die Koordinate von Stadt nennen wir :
Die Stadt kann also an der Koordinate oder liegen.
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