For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Die Absolutwert-Grundfunktion ordnet jeder reellen Zahl ihren Abstand von null auf der Zahlengeraden zu. Da ein Abstand nie negativ ist, liefert stets einen nichtnegativen Wert. Transformationen können den Grundgraphen verschieben oder spiegeln, sodass die Ausgaben einer transformierten Absolutwertfunktion nicht immer nichtnegativ sein müssen.
Für jede reelle Zahl ist die Absolutwertfunktion wie folgt definiert:
Komponenten von Absolutwertfunktionen:
Aus der Deutung als Abstand folgen diese grundlegenden Eigenschaften:
Grundlegende Eigenschaften:
Eigenschaften der Dreiecksungleichung:
Der Graph der Grundfunktion macht die Abstandsidee sichtbar:
Wertetabelle für Funktion :
Absolutwertfunktionen können auf verschiedene Arten transformiert werden:
Die Funktion verschiebt den Graphen nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
Die Funktion verschiebt den Graphen nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ).
Die Funktion verändert je nach Faktor die Steilheit und gegebenenfalls die Orientierung des Graphen:
Der direkte Vergleich zeigt den Einfluss des Faktors:
Die allgemeine Form einer Absolutwertfunktion ist:
Dabei gilt:
Transformationstabelle:
| Parameter | Wert | Auswirkung auf den Graphen |
|---|---|---|
| Betrag | Graph wird steiler | |
| Betrag | Graph wird flacher | |
| Negativ | Graph wird zusätzlich an der -Achse gespiegelt | |
| Positiv | Nach rechts verschieben | |
| Negativ | Nach links verschieben | |
| Positiv | Nach oben verschieben | |
| Negativ | Nach unten verschieben |
Absolutwertgleichungen lösen:
So lösen Sie mit :
Beispiel: Lösen Sie
Absolutwertungleichungen lösen:
Für mit :
Für mit :
Bestimmen Sie den Wert von für
Lösen Sie die Gleichung
Lösen Sie die Ungleichung
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion
Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt . Wenn sich die Stadt an der Koordinate befindet, wo befindet sich dann die Stadt ?
Funktionswerte für verschiedene Eingaben berechnen:
Ersetzen Sie jeden Wert von in der Funktion :
Absolutwertgleichungen lösen:
Für die Gleichung verwenden wir die Definition des Absolutwerts, die zwei Möglichkeiten ergibt:
Absolutwertungleichungen lösen:
Für verwenden wir die Eigenschaft, dass äquivalent zu ist:
Bestimmung des Scheitelpunkts:
Anhand der Funktion können wir die Parameter identifizieren:
Mögliche Positionen aus dem Abstand bestimmen:
Der Abstand zwischen den Städten und beträgt . Stadt liegt bei ; die Koordinate von Stadt nennen wir :
Die Lösungsmenge ist also .
Der Scheitelpunkt liegt bei .
Die Stadt kann also an der Koordinate oder liegen.
