Rationale Funktion

Zwei Polynome als Zähler und Nenner

Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome. Ihre allgemeine Form lautet

In dieser Form sind $P(x)$ und $Q(x)$ Polynome, und $Q(x)$ ist nicht das Nullpolynom.

Der Nenner bringt eine entscheidende Regel mit sich: Alle Eingaben, für die $Q(x)=0$ gilt, müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Diese Einschränkung gehört weiterhin zur Funktion, auch wenn sich später ein gemeinsamer Faktor kürzen lässt.

Ein rationales Flächenmodell

Herr Budi plant einen rechteckigen Hühnerstall mit einer Fläche von $100\text{ m}^2$. Seine Länge sei $x\text{ m}$, seine Breite $w\text{ m}$. Dann gilt

Die Formel beschreibt eine rationale Funktion, weil Zähler und Nenner Polynome sind. In der realen Situation müssen beide Seitenlängen positiv sein. Der sinnvolle Definitionsbereich ist daher $x>0$. Die Bedingung $x\neq 0$ enthält weiterhin negative Längen, die hier keinen Sinn ergeben.

Das Modell zeigt außerdem einen Zusammenhang: Wird der Stall länger, muss er schmaler werden, damit seine Fläche gleich bleibt.

Die Seitenlängen sind umgekehrt proportional. Bei fünf Metern Länge brauchst du zwanzig Meter Breite. Bei zehn Metern Länge sind es zehn Meter Breite.

Häufige Formen

Diese Beispiele haben Nenner mit unterschiedlichen Graden. Die Faktoren des Nenners bestimmen die ausgeschlossenen Eingaben. Prüfe, welche Faktoren sich kürzen lassen, bevor du zwischen einer Lücke und einer senkrechten Asymptote unterscheidest.

Ein Beispiel für die Kehrwertform ist $5/x$. Bei einer linear gebrochenen Funktion $(2x+3)/(x-1)$ ist die ausgeschlossene Eingabe $x=1$.

Die Definitionsmenge bestimmen

So bestimmst du den reellen Definitionsbereich einer rationalen Funktion:

1. Setze den ursprünglichen Nenner gleich null.
2. Bestimme alle Werte, für die er null wird.
3. Schließe diese Werte aus den reellen Zahlen aus.

Die drei Schritte werden auf eine rationale Funktion angewendet, deren Nenner null werden kann:

Der Nenner wird null, wenn:

Damit ist

Vereinfachen ohne die Definitionsmenge zu verlieren

Ein gemeinsamer Faktor darf nur dort gekürzt werden, wo er nicht null ist. Der vereinfachte Term liefert auf der ursprünglichen Definitionsmenge dieselben Werte, macht aber keine ausgeschlossene Eingabe wieder zulässig.

Eine gemeinsame Potenz der Variablen kürzen

Vereinfache

Aus dem ursprünglichen Nenner folgt $x\neq 0$. Auf diesem Definitionsbereich gilt

Der Term $2x$ ist zwar bei $x=0$ definiert, die ursprüngliche rationale Funktion jedoch nicht.

Nach dem Faktorisieren kürzen

Vereinfache

Halte zuerst $x\neq 2$ fest und zerlege dann die Differenz zweier Quadrate:

Der Graph stimmt mit der Geraden $y=x+2$ überein, hat aber bei $x=2$ eine Lücke.

Rechnen mit rationalen Termen

Beim Addieren brauchst du einen gemeinsamen Nenner, beim Multiplizieren darfst du direkt ausmultiplizieren, und beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert.

Notiere zuerst die Bedingungen für Nenner ungleich null. Beim folgenden Produkt kürzen sich Faktoren, aber die Eingaben null und minus eins bleiben ausgeschlossen.

Addition und Subtraktion

Verwende einen gemeinsamen Nenner und behalte alle Einschränkungen der ursprünglichen Nenner bei.

Multiplikation

Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Faktorisiere anschließend, bevor du kürzt:

Dass sich der Faktor $x$ kürzen lässt, hebt die ursprüngliche Einschränkung $x\neq 0$ nicht auf.

Division

Durch einen Bruch zu teilen bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren:

Dabei müssen $b\neq 0$ und $d\neq 0$ gelten, damit beide ursprünglichen Brüche definiert sind. Zusätzlich muss $c\neq 0$ sein, damit der Divisor nicht null ist.

Auch der Divisor darf nicht null sein. Im folgenden Beispiel schließen beide Brüche die Eingabe null aus. Der Divisor schließt zusätzlich die Eingabe eins aus.

Übungen

Jede Aufgabe gibt einen rationalen Term und verlangt den Definitionsbereich oder die vereinfachte Form. Bestimme zuerst die ausgeschlossenen Werte und vereinfache danach.

1. Bestimme den Definitionsbereich von $f(x)=\frac{x+3}{x^2-9}$.

2. Vereinfache $g(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ und behalte die ursprüngliche Einschränkung bei.

3. Berechne $\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}$ und gib die Einschränkungen der Definitionsmenge an.

4. Ein Auto fährt $300\text{ km}$ mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $v\text{ km/h}$. Stelle die Fahrzeit als Funktion von $v$ dar und gib den physikalisch sinnvollen Definitionsbereich an.

Lösungen

Aufgabe 1. Der Zähler entscheidet nicht über die Definitionsmenge. Faktorisiere den Nenner:

Beide Werte machen den ursprünglichen Nenner null. Daher gilt

Aufgabe 2. Aus dem ursprünglichen Nenner folgt $x\neq -1$. Faktorisiere und kürze nur auf diesem Definitionsbereich:

Die vereinfachte Formel hat bei der ausgeschlossenen Eingabe $x=-1$ weiterhin eine Lücke.

Aufgabe 3. Aus den ursprünglichen Nennern folgen $x\neq 1$ und $x\neq -1$. Mit $(x-1)(x+1)$ als gemeinsamem Nenner erhält man

Aufgabe 4. Die Zeit ist der Quotient aus Strecke und Geschwindigkeit:

Algebraisch gilt $v\neq 0$. Für ein fahrendes Auto muss die Geschwindigkeit positiv sein. Das physikalische Modell verwendet daher $v>0$.