Was ist eine rationale Funktion?
Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome. Ihre allgemeine Form lautet
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Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome. Ihre allgemeine Form lautet
wobei und Polynome sind und nicht das Nullpolynom ist.
Der Nenner bringt eine entscheidende Regel mit sich: Alle Eingaben, für die gilt, müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Diese Einschränkung gehört weiterhin zur Funktion, auch wenn sich später ein gemeinsamer Faktor kürzen lässt.
Herr Budi plant einen rechteckigen Hühnerstall mit einer Fläche von . Seine Länge sei , seine Breite . Dann gilt
Die Formel beschreibt eine rationale Funktion, weil eine Variable im Nenner steht. In der realen Situation müssen beide Seitenlängen positiv sein. Der sinnvolle Definitionsbereich ist daher und nicht nur .
Das Modell zeigt außerdem einen Zusammenhang: Wird der Stall länger, muss er schmaler werden, damit seine Fläche gleich bleibt.
Die grundlegende Kehrwertform lautet
mit einer Konstanten . Zum Beispiel hat den Definitionsbereich .
Sind Zähler und Nenner linear, so hat die Funktion die Form
Für den Nenner muss gelten. Bei ist deshalb ausgeschlossen.
Eines oder beide Polynome können den Grad zwei oder höher haben. Zum Beispiel ist
ebenfalls rational. Hier gehört nicht zur Definitionsmenge.
So bestimmst du den reellen Definitionsbereich einer rationalen Funktion:
Für
wird der Nenner null, wenn
Damit ist
Ein gemeinsamer Faktor darf nur dort gekürzt werden, wo er nicht null ist. Der vereinfachte Term liefert auf der ursprünglichen Definitionsmenge dieselben Werte, macht aber keine ausgeschlossene Eingabe wieder zulässig.
Vereinfache
Aus dem ursprünglichen Nenner folgt . Auf diesem Definitionsbereich gilt
Der Term ist zwar bei definiert, die ursprüngliche rationale Funktion jedoch nicht.
Vereinfache
Halte zuerst fest und zerlege dann die Differenz zweier Quadrate:
Der Graph stimmt mit der Geraden überein, hat aber bei eine Lücke.
Verwende einen gemeinsamen Nenner und behalte alle Einschränkungen der ursprünglichen Nenner bei.
Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Faktorisiere anschließend, bevor du kürzt:
Dass sich der Faktor kürzen lässt, hebt die ursprüngliche Einschränkung nicht auf.
Durch einen Bruch zu teilen bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren:
Dabei müssen und gelten, damit beide ursprünglichen Brüche definiert sind. Zusätzlich muss sein, damit der Divisor nicht null ist.
Bestimme den Definitionsbereich von .
Vereinfache und behalte die ursprüngliche Einschränkung bei.
Berechne und gib die Einschränkungen der Definitionsmenge an.
Ein Auto fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von . Stelle die Fahrzeit als Funktion von dar und gib den physikalisch sinnvollen Definitionsbereich an.
Der Zähler entscheidet nicht über die Definitionsmenge. Faktorisiere den Nenner:
Beide Werte machen den ursprünglichen Nenner null. Daher gilt
Aus dem ursprünglichen Nenner folgt . Faktorisiere und kürze nur auf diesem Definitionsbereich:
Die vereinfachte Formel hat bei der ausgeschlossenen Eingabe weiterhin eine Lücke.
Aus den ursprünglichen Nennern folgen und . Mit als gemeinsamem Nenner erhält man
Die Zeit ist der Quotient aus Strecke und Geschwindigkeit:
Algebraisch gilt . Für ein fahrendes Auto muss die Geschwindigkeit positiv sein. Das physikalische Modell verwendet daher .