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Zum Lesen trigonometrischer Funktionsgraphen benötigen wir Winkel im Bogenmaß. Gradangaben sind im Alltag verbreitet, während das Bogenmaß die natürliche Einheit für Analysis und Funktionsgraphen ist.
Eine vollständige Umdrehung eines Kreises beträgt oder Bogenmaß. Diese Beziehung liefert uns Umrechnungsformeln:
Grad in Bogenmaß umrechnen:
Bogenmaß in Grad umrechnen:
Zwei Größen beschreiben die Grundform eines periodischen Graphen besonders direkt: Amplitude und Periode. Die Amplitude gibt an, wie weit die Kurve über und unter ihre Mittellinie steigt, und die Periode gibt den horizontalen Abstand an, den eine vollständige Wiederholung braucht.
Die Amplitude ist der größte vertikale Abstand von der Mittellinie einer Sinuskurve zu einem Hoch- oder Tiefpunkt. Bei den unverschobenen Funktionen und ist diese Mittellinie die -Achse und die Amplitude beträgt .
Die Periode ist die Länge des Intervalls für einen vollständigen Zyklus. Für und beträgt sie .
Für die folgenden Formeln gelten und . Die Amplitude verwendet den Betrag, die Grundperiode ist der kleinste positive Wiederholungsabstand. Ist bei Sinus oder Kosinus einer der Koeffizienten null, ist die Funktion konstant und hat keine kleinste positive Periode.
| Funktion | Amplitude | Periode |
|---|---|---|
| Nicht definiert |
Die Funktion ist periodisch mit der Periode . Ihr Graph wiederholt sich daher in jedem Intervall der Länge .
Grapheneigenschaften:
Die Funktion hat eine sinusähnliche Form, ist jedoch um nach links verschoben.
Grapheneigenschaften:
Beide Kurven wiederholen sich nach einer vollen Umdrehung und unterscheiden sich um eine waagerechte Verschiebung. Vergleiche die Hochpunkte und Nullstellen beider Kurven in derselben Ansicht.
Die Funktion unterscheidet sich von und durch vertikale Asymptoten.
Grapheneigenschaften:
Änderungen von Amplitude, Periode und Mittellinie lassen sich an den Koeffizienten erkennen. Vergleiche beim Ändern eines Koeffizienten die Hochpunkte und Nullstellen, um seine Wirkung zu sehen.
Für beträgt die Amplitude .
Die Funktion hat die Periode .
Diese Form trennt Verschiebungen innerhalb und außerhalb der Funktion. Die Mittellinie lautet und muss nicht mit der waagerechten Achse zusammenfallen.
Allgemeine Form:
Die folgende Darstellung verbindet Amplitude, horizontale Verschiebung und vertikale Verschiebung:
Die fünf Aufgaben unten wenden die Regeln für Periode, Amplitude und Verschiebung auf Graphen an, die du selbst skizzierst. Rechne jede Aufgabe vor der Lösung und vergleiche danach deine Skizzen und Gleichungen mit den angegebenen Antworten.
Rechne die folgenden Winkel um:
Bestimme Periode und Amplitude von:
Skizziere den Graphen von . Bestimme:
Wenn die Gezeitenhöhe durch modelliert wird, wobei in Stunden gemessen wird:
Bestimme die Gleichung einer trigonometrischen Funktion mit:
Aufgabe 1. Rechne die Einheiten mit dem passenden Umrechnungsfaktor um.
Eine volle Umdrehung entspricht dreihundertsechzig Grad oder zwei Pi Radiant. Ihr Verhältnis ist eins. Der Umrechnungsfaktor ändert deshalb die Einheit, aber nicht die Größe des Winkels.
Aufgabe 2. Verwende den Betrag des Koeffizienten für die Amplitude. Das Minuszeichen spiegelt die Kosinuskurve, ohne ihre Amplitude negativ zu machen.
Bei der zweiten Kurve beträgt der Eingabekoeffizient ein Drittel. Das Kosinusargument wächst erst bei einer Eingabezunahme um sechs Pi um zwei Pi. Die Periode ist deshalb dreimal so lang wie beim Grundkosinus.
Aufgabe 3. Die Schreibweise zeigt die Verschiebung nach links. Diese fünf Punkte bestimmen eine vollständige Periode:
Aufgabe 4. Der Wasserstand schwankt um eine Mittellinie von fünf Metern mit einer maximalen Abweichung von zwei Metern.
Der Sinus liegt zwischen minus eins und eins. Das Modell liefert deshalb immer Höhen zwischen drei und sieben Metern. Während einer Periode wächst das Sinusargument um zwei Pi.
Aufgabe 5. Bestimme den Frequenzkoeffizienten aus der gegebenen Periode und setze die waagerechte Verschiebung in die Klammer ein.
Durch Ausmultiplizieren des Arguments ergibt sich die gleichwertige Form:
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