Graphen trigonometrischer Funktionen

Periodische Muster mit Winkelfunktionen beschreiben

Bewegungen, die sich $regelmäßig wiederholen$ , lassen sich mit Sinus oder Kosinus modellieren. Das Modell beschreibt eine ideale Welle und nicht jede Veränderung des Meerwassers.

Zum Lesen trigonometrischer Funktionsgraphen benötigen wir Winkel im Bogenmaß. Gradangaben sind im Alltag verbreitet, während das Bogenmaß die natürliche Einheit für Analysis und Funktionsgraphen ist.

Grad und Bogenmaß umrechnen

Eine $vollständige Umdrehung$ eines Kreises beträgt $360^\circ$ oder $2\pi$ Bogenmaß. Diese Beziehung liefert uns Umrechnungsformeln:

180^\circ = \pi \text{ Bogenmaß}

Umrechnungsbeispiele

$Grad in Bogenmaß$ umrechnen:

90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ Bogenmaß}

Bogenmaß in Grad umrechnen:

\frac{\pi}{6} \text{ Bogenmaß} = \frac{\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 30^\circ

Amplitude und Periode im Sinusgraphen

Zwei Größen beschreiben die Grundform eines periodischen Graphen besonders direkt: $Amplitude$ und $Periode$ . Die Amplitude gibt an, wie weit die Kurve über und unter ihre Mittellinie steigt, und die Periode gibt den horizontalen Abstand an, den eine vollständige Wiederholung braucht.

Amplitude

Die Amplitude ist $der größte vertikale Abstand von der Mittellinie$ einer Sinuskurve zu einem Hoch- oder Tiefpunkt. Bei den unverschobenen Funktionen $y = A \sin x$ und $y = A \cos x$ ist diese Mittellinie die $x$ -Achse und die Amplitude beträgt $|A|$ .

Amplitudenkonzept

Die Amplitude ist der senkrechte Abstand von der

x

-Achse zum Hochpunkt der Welle.

Periode

Die $Periode$ ist die Länge des Intervalls für einen vollständigen Zyklus. Für $y = \sin(Bx)$ und $y = \cos(Bx)$ beträgt sie $\frac{2\pi}{|B|}$ .

Periodenkonzept

Die Periode ist der horizontale Abstand für eine vollständige Welle.

Amplitude und Periode aus den Koeffizienten

Für die folgenden Formeln gelten $A\neq0$ und $B\neq0$ . Die Amplitude verwendet den $Betrag$ , die Grundperiode ist der kleinste positive Wiederholungsabstand. Ist bei Sinus oder Kosinus einer der Koeffizienten null, ist die Funktion konstant und hat keine kleinste positive Periode.

Funktion	Amplitude	Periode
$A\sin(Bx)$	$\lvert A\rvert$	$2\pi/\lvert B\rvert$
$A\cos(Bx)$	$\lvert A\rvert$	$2\pi/\lvert B\rvert$
$A\tan(Bx)$	Nicht definiert	$\pi/\lvert B\rvert$

Graph der Sinusfunktion

Die Funktion $y = \sin x$ ist periodisch mit der Periode $2\pi$ . Ihr Graph wiederholt sich daher in jedem Intervall der Länge $2\pi$ .

Graph von

y = \sin x

Der Graph bildet eine Welle, die sich nach jeder Periode wiederholt.

$Grapheneigenschaften$ : $y = \sin x$

$Periode$ : $2\pi$ (der Graph wiederholt sich nach $2\pi \text{ Einheiten}$ )
$Amplitude$ : $1$ (Maximalwert minus Minimalwert, dann geteilt durch $2$ )
$Definitionsbereich$ : Alle reellen Zahlen
$Wertebereich$ : $[-1, 1]$
Schnittpunkte mit der $x$ -Achse: $x = n\pi$ , wobei $n$ eine ganze Zahl ist
$Maximalwert$ : $1$ bei $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$
$Minimalwert$ : $-1$ bei $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

Graph der Kosinusfunktion

Die Funktion $y = \cos x$ hat eine sinusähnliche Form, ist jedoch um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschoben.

Graph von

y = \cos x

Vergleiche den Graphen mit

\sin

. Die Form ist gleich, aber horizontal verschoben.

$Grapheneigenschaften$ : $y = \cos x$

$Periode$ : $2\pi$
$Amplitude$ : $1$
$Definitionsbereich$ : Alle reellen Zahlen
$Wertebereich$ : $[-1, 1]$
Schnittpunkte mit der $x$ -Achse: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
$Maximalwert$ : $1$ bei $x = 2n\pi$
$Minimalwert$ : $-1$ bei $x = \pi + 2n\pi$

Sinus und Kosinus vergleichen

Beide Kurven wiederholen sich nach einer vollen Umdrehung und unterscheiden sich um eine $waagerechte Verschiebung$ . Vergleiche die Hochpunkte und Nullstellen beider Kurven in derselben Ansicht.

Vergleich der Graphen von

\sin

und

\cos

Es gilt

\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})

Graph der Tangensfunktion

Die Funktion $y = \tan x$ unterscheidet sich von $\sin$ und $\cos$ durch vertikale Asymptoten.

Graph von

y = \tan x

Die roten vertikalen Linien markieren die Asymptoten.

$Grapheneigenschaften$ : $y = \tan x$

$Periode$ : $\pi$ (kürzer als bei $\sin$ und $\cos$ )
$Amplitude$ : nicht definiert
$Definitionsbereich$ : $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$
$Wertebereich$ : Alle reellen Zahlen
$Vertikale Asymptoten$ : $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
Schnittpunkte mit der $x$ -Achse: $x = n\pi$

Transformationen trigonometrischer Funktionen

Änderungen von $Amplitude, Periode und Mittellinie$ lassen sich an den Koeffizienten erkennen. Vergleiche beim Ändern eines Koeffizienten die Hochpunkte und Nullstellen, um seine Wirkung zu sehen.

Amplitudenänderungen

Für $y = A \sin x$ beträgt die $Amplitude$ $|A|$ .

Wirkung der Amplitude

Vergleiche, wie der Wert von

A

die Wellenhöhe verändert.

Periodenänderungen

Die Funktion $y = \sin(Bx)$ hat die $Periode$ $\frac{2\pi}{|B|}$ .

Wirkung der Periode

Der Wert

B

bestimmt, wie schnell sich der Graph wiederholt.

Vertikale und horizontale Verschiebungen

Diese Form trennt $Verschiebungen innerhalb und außerhalb der Funktion$ . Die Mittellinie lautet $y=D$ und muss nicht mit der waagerechten Achse zusammenfallen.

Allgemeine Form:

y = A \sin(B(x - C)) + D

$|A|$ : Amplitude
$B$ : Bestimmt die Periode ( $\text{Periode} = \frac{2\pi}{|B|}$ )
$C$ : Horizontale Verschiebung (Phase)
$D$ : Vertikale Verschiebung

Die folgende Darstellung verbindet Amplitude, horizontale Verschiebung und vertikale Verschiebung:

Vollständige Transformation

Der Graph von

y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 1

zeigt alle drei Transformationen.

Übungen

Die fünf Aufgaben unten wenden die Regeln für Periode, Amplitude und Verschiebung auf Graphen an, die du selbst skizzierst. Rechne jede Aufgabe vor der Lösung und vergleiche danach deine Skizzen und Gleichungen mit den angegebenen Antworten.

Rechne die folgenden Winkel um:
- $120^\circ$ in Bogenmaß
- $\frac{5\pi}{6}$ Bogenmaß in Grad
Bestimme Periode und Amplitude von:
- $y = 3 \sin(2x)$
- $y = -2 \cos(\frac{x}{3})$
Skizziere den Graphen von $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$ . Bestimme:
- Amplitude
- Periode
- Phasenverschiebung
- Vertikale Verschiebung
Wenn die Gezeitenhöhe durch $h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5 \text{ Meter}$ modelliert wird, wobei $t$ in Stunden gemessen wird:
- Was sind die maximalen und minimalen Wasserhöhen?
- Was ist die Gezeitenperiode?
Bestimme die Gleichung einer trigonometrischen Funktion mit:
- Amplitude $3$
- Periode $\pi$
- $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben
- $2 \text{ Einheiten}$ $nach oben$ verschoben

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Rechne die Einheiten mit dem passenden $Umrechnungsfaktor$ um.

$120^\circ\cdot\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}=\frac{2\pi}{3}\,\mathrm{rad}$ Bogenmaß
$\frac{5\pi}{6}\,\mathrm{rad}\cdot\frac{180^\circ}{\pi\,\mathrm{rad}}=150^\circ$

Eine volle Umdrehung entspricht dreihundertsechzig Grad oder zwei Pi Radiant. Ihr Verhältnis ist eins. Der Umrechnungsfaktor ändert deshalb die Einheit, aber nicht die Größe des Winkels.

$Aufgabe 2$ . Verwende den $Betrag des Koeffizienten$ für die Amplitude. Das Minuszeichen spiegelt die Kosinuskurve, ohne ihre Amplitude negativ zu machen.

$y = 3 \sin(2x)$ : Amplitude $3$ , Periode $\frac{2\pi}{2} = \pi$
$y = -2 \cos(\frac{x}{3})$ : Amplitude $2$ , Periode $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$

Bei der zweiten Kurve beträgt der Eingabekoeffizient ein Drittel. Das Kosinusargument wächst erst bei einer Eingabezunahme um sechs Pi um zwei Pi. Die Periode ist deshalb dreimal so lang wie beim Grundkosinus.

\frac{T}{3}=2\pi \quad\Rightarrow\quad T=6\pi

$Aufgabe 3$ . Die Schreibweise $x+\pi/3=x-(-\pi/3)$ zeigt die $Verschiebung nach links$ . Diese fünf Punkte bestimmen eine vollständige Periode:

Amplitude: $2$
Periode: $2\pi$
Phasenverschiebung: $\frac{\pi}{3}$ nach links
Vertikale Verschiebung: $1 \text{ Einheit}$ nach unten

$x$	$-\pi/3$	$\pi/6$	$2\pi/3$	$7\pi/6$	$5\pi/3$
$y$	$-1$	$1$	$-1$	$-3$	$-1$

Eine Periode Skizzieren

Die markierten Punkte zeigen Mittellinie, Hochpunkt und Tiefpunkt nach den Verschiebungen.

$Aufgabe 4$ . Der Wasserstand schwankt um eine $Mittellinie$ von fünf Metern mit einer maximalen Abweichung von zwei Metern.

Maximale Höhe: $5 + 2 = 7 \text{ Meter}$
Minimale Höhe: $5 - 2 = 3 \text{ Meter}$
Periode: $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \text{ Stunden}$

Der Sinus liegt zwischen minus eins und eins. Das Modell liefert deshalb immer Höhen zwischen drei und sieben Metern. Während einer Periode wächst das Sinusargument um zwei Pi.

\frac{\pi}{6}T=2\pi \quad\Rightarrow\quad T=12

$Aufgabe 5$ . Bestimme den Frequenzkoeffizienten aus der $gegebenen Periode$ und setze die waagerechte Verschiebung in die Klammer ein.

2\pi/B=\pi\;\Rightarrow\;B=2

Durch Ausmultiplizieren des Arguments ergibt sich die gleichwertige Form:

y = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{2}) + 2

Periodische Muster mit Winkelfunktionen beschreiben

Bewegungen, die sich $regelmäßig wiederholen$ , lassen sich mit Sinus oder Kosinus modellieren. Das Modell beschreibt eine ideale Welle und nicht jede Veränderung des Meerwassers.

Grad und Bogenmaß umrechnen

Eine $vollständige Umdrehung$ eines Kreises beträgt $360^\circ$ oder $2\pi$ Bogenmaß. Diese Beziehung liefert uns Umrechnungsformeln:

180^\circ = \pi \text{ Bogenmaß}

Umrechnungsbeispiele

$Grad in Bogenmaß$ umrechnen:

90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ Bogenmaß}

Bogenmaß in Grad umrechnen:

\frac{\pi}{6} \text{ Bogenmaß} = \frac{\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 30^\circ

Amplitude und Periode im Sinusgraphen

Amplitude

Amplitudenkonzept

Die Amplitude ist der senkrechte Abstand von der

x

-Achse zum Hochpunkt der Welle.

Periode

Die $Periode$ ist die Länge des Intervalls für einen vollständigen Zyklus. Für $y = \sin(Bx)$ und $y = \cos(Bx)$ beträgt sie $\frac{2\pi}{|B|}$ .

Periodenkonzept

Die Periode ist der horizontale Abstand für eine vollständige Welle.

Amplitude und Periode aus den Koeffizienten

Funktion	Amplitude	Periode
$A\sin(Bx)$	$\lvert A\rvert$	$2\pi/\lvert B\rvert$
$A\cos(Bx)$	$\lvert A\rvert$	$2\pi/\lvert B\rvert$
$A\tan(Bx)$	Nicht definiert	$\pi/\lvert B\rvert$

Graph der Sinusfunktion

Die Funktion $y = \sin x$ ist periodisch mit der Periode $2\pi$ . Ihr Graph wiederholt sich daher in jedem Intervall der Länge $2\pi$ .

Graph von

y = \sin x

Der Graph bildet eine Welle, die sich nach jeder Periode wiederholt.

$Grapheneigenschaften$ : $y = \sin x$

$Periode$ : $2\pi$ (der Graph wiederholt sich nach $2\pi \text{ Einheiten}$ )
$Amplitude$ : $1$ (Maximalwert minus Minimalwert, dann geteilt durch $2$ )
$Definitionsbereich$ : Alle reellen Zahlen
$Wertebereich$ : $[-1, 1]$
Schnittpunkte mit der $x$ -Achse: $x = n\pi$ , wobei $n$ eine ganze Zahl ist
$Maximalwert$ : $1$ bei $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$
$Minimalwert$ : $-1$ bei $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

Graph der Kosinusfunktion

Die Funktion $y = \cos x$ hat eine sinusähnliche Form, ist jedoch um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschoben.

Graph von

y = \cos x

Vergleiche den Graphen mit

\sin

. Die Form ist gleich, aber horizontal verschoben.

$Grapheneigenschaften$ : $y = \cos x$

$Periode$ : $2\pi$
$Amplitude$ : $1$
$Definitionsbereich$ : Alle reellen Zahlen
$Wertebereich$ : $[-1, 1]$
Schnittpunkte mit der $x$ -Achse: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
$Maximalwert$ : $1$ bei $x = 2n\pi$
$Minimalwert$ : $-1$ bei $x = \pi + 2n\pi$

Sinus und Kosinus vergleichen

Beide Kurven wiederholen sich nach einer vollen Umdrehung und unterscheiden sich um eine $waagerechte Verschiebung$ . Vergleiche die Hochpunkte und Nullstellen beider Kurven in derselben Ansicht.

Vergleich der Graphen von

\sin

und

\cos

Es gilt

\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})

Graph der Tangensfunktion

Die Funktion $y = \tan x$ unterscheidet sich von $\sin$ und $\cos$ durch vertikale Asymptoten.

Graph von

y = \tan x

Die roten vertikalen Linien markieren die Asymptoten.

$Grapheneigenschaften$ : $y = \tan x$

$Periode$ : $\pi$ (kürzer als bei $\sin$ und $\cos$ )
$Amplitude$ : nicht definiert
$Definitionsbereich$ : $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$
$Wertebereich$ : Alle reellen Zahlen
$Vertikale Asymptoten$ : $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
Schnittpunkte mit der $x$ -Achse: $x = n\pi$

Transformationen trigonometrischer Funktionen

Änderungen von $Amplitude, Periode und Mittellinie$ lassen sich an den Koeffizienten erkennen. Vergleiche beim Ändern eines Koeffizienten die Hochpunkte und Nullstellen, um seine Wirkung zu sehen.

Amplitudenänderungen

Für $y = A \sin x$ beträgt die $Amplitude$ $|A|$ .

Wirkung der Amplitude

Vergleiche, wie der Wert von

A

die Wellenhöhe verändert.

Periodenänderungen

Die Funktion $y = \sin(Bx)$ hat die $Periode$ $\frac{2\pi}{|B|}$ .

Wirkung der Periode

Der Wert

B

bestimmt, wie schnell sich der Graph wiederholt.

Vertikale und horizontale Verschiebungen

Diese Form trennt $Verschiebungen innerhalb und außerhalb der Funktion$ . Die Mittellinie lautet $y=D$ und muss nicht mit der waagerechten Achse zusammenfallen.

Allgemeine Form:

y = A \sin(B(x - C)) + D

$|A|$ : Amplitude
$B$ : Bestimmt die Periode ( $\text{Periode} = \frac{2\pi}{|B|}$ )
$C$ : Horizontale Verschiebung (Phase)
$D$ : Vertikale Verschiebung

Die folgende Darstellung verbindet Amplitude, horizontale Verschiebung und vertikale Verschiebung:

Vollständige Transformation

Der Graph von

y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 1

zeigt alle drei Transformationen.

Übungen

Rechne die folgenden Winkel um:
- $120^\circ$ in Bogenmaß
- $\frac{5\pi}{6}$ Bogenmaß in Grad
Bestimme Periode und Amplitude von:
- $y = 3 \sin(2x)$
- $y = -2 \cos(\frac{x}{3})$
Skizziere den Graphen von $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$ . Bestimme:
- Amplitude
- Periode
- Phasenverschiebung
- Vertikale Verschiebung
Wenn die Gezeitenhöhe durch $h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5 \text{ Meter}$ modelliert wird, wobei $t$ in Stunden gemessen wird:
- Was sind die maximalen und minimalen Wasserhöhen?
- Was ist die Gezeitenperiode?
Bestimme die Gleichung einer trigonometrischen Funktion mit:
- Amplitude $3$
- Periode $\pi$
- $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben
- $2 \text{ Einheiten}$ $nach oben$ verschoben

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Rechne die Einheiten mit dem passenden $Umrechnungsfaktor$ um.

$120^\circ\cdot\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}=\frac{2\pi}{3}\,\mathrm{rad}$ Bogenmaß
$\frac{5\pi}{6}\,\mathrm{rad}\cdot\frac{180^\circ}{\pi\,\mathrm{rad}}=150^\circ$

Eine volle Umdrehung entspricht dreihundertsechzig Grad oder zwei Pi Radiant. Ihr Verhältnis ist eins. Der Umrechnungsfaktor ändert deshalb die Einheit, aber nicht die Größe des Winkels.

$Aufgabe 2$ . Verwende den $Betrag des Koeffizienten$ für die Amplitude. Das Minuszeichen spiegelt die Kosinuskurve, ohne ihre Amplitude negativ zu machen.

$y = 3 \sin(2x)$ : Amplitude $3$ , Periode $\frac{2\pi}{2} = \pi$
$y = -2 \cos(\frac{x}{3})$ : Amplitude $2$ , Periode $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$

\frac{T}{3}=2\pi \quad\Rightarrow\quad T=6\pi

$Aufgabe 3$ . Die Schreibweise $x+\pi/3=x-(-\pi/3)$ zeigt die $Verschiebung nach links$ . Diese fünf Punkte bestimmen eine vollständige Periode:

Amplitude: $2$
Periode: $2\pi$
Phasenverschiebung: $\frac{\pi}{3}$ nach links
Vertikale Verschiebung: $1 \text{ Einheit}$ nach unten

$x$	$-\pi/3$	$\pi/6$	$2\pi/3$	$7\pi/6$	$5\pi/3$
$y$	$-1$	$1$	$-1$	$-3$	$-1$

Eine Periode Skizzieren

Die markierten Punkte zeigen Mittellinie, Hochpunkt und Tiefpunkt nach den Verschiebungen.

$Aufgabe 4$ . Der Wasserstand schwankt um eine $Mittellinie$ von fünf Metern mit einer maximalen Abweichung von zwei Metern.

Maximale Höhe: $5 + 2 = 7 \text{ Meter}$
Minimale Höhe: $5 - 2 = 3 \text{ Meter}$
Periode: $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \text{ Stunden}$

Der Sinus liegt zwischen minus eins und eins. Das Modell liefert deshalb immer Höhen zwischen drei und sieben Metern. Während einer Periode wächst das Sinusargument um zwei Pi.

\frac{\pi}{6}T=2\pi \quad\Rightarrow\quad T=12

$Aufgabe 5$ . Bestimme den Frequenzkoeffizienten aus der $gegebenen Periode$ und setze die waagerechte Verschiebung in die Klammer ein.

2\pi/B=\pi\;\Rightarrow\;B=2

Durch Ausmultiplizieren des Arguments ergibt sich die gleichwertige Form:

y = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{2}) + 2