Modellieren mit Stufenfunktionen

Konstante Werte auf einzelnen Intervallen

Eine Stufenfunktion $hat in jedem Intervall einen konstanten Wert$ und kann beim Übergang zum nächsten Intervall springen. Ihr Graph ähnelt einer Treppe: Waagerechte Abschnitte zeigen die konstanten Werte, getrennte Endpunkte kennzeichnen mögliche Sprungstellen.

Definition einer Treppenfunktion

Die folgende Formel zeigt $endlich viele Intervalle$ . Bei der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion auf allen reellen Zahlen setzen sich die Intervalle nach links und rechts unbegrenzt fort.

Eine Stufenfunktion kann als stückweise Funktion der Form definiert werden:

f(x) = \begin{cases} c_1, & \text{wenn } a_1 \leq x < b_1 \\ c_2, & \text{wenn } a_2 \leq x < b_2 \\ c_3, & \text{wenn } a_3 \leq x < b_3 \\ \vdots \\ c_n, & \text{wenn } a_n \leq x < b_n \end{cases}

Dabei sind $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n$ Konstanten und $[a_i, b_i)$ nicht überlappende Intervalle.

$Eigenschaften von Stufenfunktionen$ :

Konstante Werte in jedem Intervall
Mögliche Sprungstellen an Intervallgrenzen
Graph in Form einer Treppe
Gehört zur Kategorie der stückweisen Funktionen

Typen von Stufenfunktionen

Die Abrundungsfunktion rundet $zur kleineren ganzen Zahl$ , die Aufrundungsfunktion zur größeren. Eine ganze Zahl bleibt unverändert. Die Heaviside-Funktion nimmt zwei konstante Werte an und springt einmal bei null.

Abrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion, bezeichnet mit $\lfloor x \rfloor$ , gibt die $größte ganze Zahl$ an, die kleiner oder gleich $x$ ist.

\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\}

Der Graph markiert jeden enthaltenen linken Randpunkt ausgefüllt und jeden ausgeschlossenen rechten Randpunkt offen.

Abrundungsfunktion

f(x) = \lfloor x \rfloor

Der Graph ordnet jeder Zahl

x

die größte ganze Zahl zu, die

x

nicht überschreitet.

$Wertetabelle der Abrundungsfunktion$ :

$x$	$-2{,}5$	$-1{,}7$	$-1$	$-0{,}3$	$0$	$0{,}8$	$1$	$1{,}9$	$2{,}4$
$\lfloor x \rfloor$	$-3$	$-2$	$-1$	$-1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$2$

Aufrundungsfunktion

Die Aufrundungsfunktion, bezeichnet mit $\lceil x \rceil$ , gibt die $kleinste ganze Zahl$ an, die größer oder gleich $x$ ist.

\lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \geq x\}

Der Graph markiert jeden ausgeschlossenen linken Randpunkt offen und jeden enthaltenen rechten Randpunkt ausgefüllt.

Aufrundungsfunktion

f(x) = \lceil x \rceil

Der Graph ordnet jeder Zahl

x

die kleinste ganze Zahl zu, die

x

nicht unterschreitet.

Einheitssprungfunktion nach Heaviside

Die folgenden Beispiele verwenden eine verbreitete Konvention für die Einheitsschrittfunktion oder Heaviside-Funktion, bezeichnet mit $H(x)$ oder $u(x)$ :

H(x) = \begin{cases} 0, & \text{wenn } x < 0 \\ 1, & \text{wenn } x \geq 0 \end{cases}

Nach dieser Konvention hat die Einheitsschrittfunktion den Wert $0$ für $x < 0$ und $1$ für $x \geq 0$ . In anderen Fachgebieten wird manchmal $H(0)=0$ oder $H(0)=\frac12$ gewählt. Deshalb muss der $Wert an der Sprungstelle$ stets angegeben werden.

Einheitsschrittfunktion

H(x)

Der Graph springt bei

x=0

vom Wert

0

auf den Wert

1

Eigenschaften von Stufenfunktionen

Der Definitionsbereich ergibt sich aus den $festgelegten Intervallen$ und umfasst nicht automatisch alle reellen Zahlen. Die Beispiele hier haben diskrete Ausgaben. An einer Grenze entsteht nur dann ein Sprung, wenn sich die Konstanten auf beiden Seiten unterscheiden.

Bei Ab- und Aufrundung $begrenzen zwei ganze Zahlen die Eingabe$ . Für ganzzahlige Eingaben stimmen beide Ergebnisse überein, sonst unterscheiden sie sich um eins.

$Besondere Eigenschaften der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion$ :

$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$
$\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil$
$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1 \text{ wenn } x \notin \mathbb{Z}$
$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor \text{wenn } x \in \mathbb{Z}$

$Vergleichstabelle der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion$ :

$x$	$\lfloor x \rfloor$	$\lceil x \rceil$	Unterschied
$-2{,}3$	$-3$	$-2$	$1$
$-1$	$-1$	$-1$	$0$
$0{,}7$	$0$	$1$	$1$
$2$	$2$	$2$	$0$
$3{,}8$	$3$	$4$	$1$

Transformationen von Stufenfunktionen

Eine $vertikale Verschiebung$ ändert die Höhe jeder Stufe, aber nicht die Intervallgrenzen. Eine horizontale Verschiebung bewegt die Grenzen. Vertikales Skalieren verändert die Sprunghöhen, horizontales Skalieren die Intervallbreiten.

Vertikale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = \lfloor x \rfloor + k$ verschiebt die $Höhe des Graphen der Abrundungsfunktion$ nach oben (wenn $k > 0$ ) oder nach unten (wenn $k < 0$ ).

Vertikale Verschiebung der Abrundungsfunktion

Vergleich von

f(x) = \lfloor x \rfloor

mit

g(x) = \lfloor x \rfloor + 2

und

h(x) = \lfloor x \rfloor - 1

Horizontale Verschiebung

Die Funktion $f(x)=\lfloor x-h\rfloor$ verschiebt den Graphen $waagerecht$ . Der Sprung bei $x=m$ wandert für jede ganze Zahl $m$ nach $x=m+h$ . Bei $h=2$ wandert der Sprung von null nach zwei. Es ist kein erster Sprung, denn an jeder ganzen Zahl liegt eine Sprungstelle.

Übungsaufgaben

Die Aufgaben verbinden Abrundungs- und Aufrundungswerte mit einer Größe, die in ganzen Schritten wächst. Berechne zuerst den $ganzzahligen Anteil$ und fasse dann die Terme zusammen.

Bestimme den Wert von $\lfloor 3{,}7 \rfloor + \lceil -2{,}3 \rceil$
Eine Buchhandlung gewährt Rabatte abhängig von der Anzahl der gekauften Artikel:

$1\text{-}5$ Bücher: kein Rabatt
$6\text{-}10$ Bücher: $10\%$ Rabatt
$11\text{-}20$ Bücher: $15\%$ Rabatt
$> 20$ Bücher: $20\%$ Rabatt

Wenn der Preis pro Buch $\text{Rp}\,50{.}000$ beträgt, erstelle eine Funktion, die den Gesamtpreis nach Rabatt darstellt!

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$ für $-3 \leq x \leq 3$ .
Löse die Gleichung $\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$
Ein Aufzug kann maximal $8 \text{ Menschen}$ aufnehmen. Wenn es $n \text{ Menschen}$ gibt, die den Aufzug benutzen möchten, wie oft muss der Aufzug fahren?

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Bei einer $negativen Eingabe$ führt Abrunden zur kleineren ganzen Zahl, nicht in Richtung null.

\lfloor3{,}7\rfloor=3

$3$ ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $3{,}7$ ist.

\lceil-2{,}3\rceil=-2

$-2$ ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich $-2{,}3$ ist.

\lfloor 3{,}7 \rfloor + \lceil -2{,}3 \rceil = 3 + (-2) = 1

$Aufgabe 2$ . Der Rabattsatz ist eine $Stufenfunktion$ , der Gesamtpreis $H(n)$ steigt jedoch innerhalb jeder Rabattstufe mit der Buchanzahl. Das folgende Preismodell ist daher stückweise auf ganzzahligen Buchanzahlen definiert und innerhalb der Stufen nicht konstant.

Der Rabatt gilt für den $gesamten Einkauf$ . Sechs Bücher erhalten beispielsweise zehn Prozent Rabatt:

H(6)=50000(6)(1-10/100)=270000

Sei $n\in\mathbb{N}$ die positive ganzzahlige Anzahl der gekauften Bücher. Dann beträgt der Gesamtpreis nach Rabatt:

H(n) = \begin{cases}\begin{gathered}50{.}000n\\\text{wenn } 1 \leq n \leq 5\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}9\\\text{wenn } 6 \leq n \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}85\\\text{wenn } 11 \leq n \leq 20\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}8\\\text{wenn } n > 20\end{gathered}\end{cases}

$Aufgabe 3$ . Prüfe den $rechten Rand des Definitionsbereichs$ gesondert: Der Wert bei $x=3$ unterscheidet sich vom Wert auf dem Intervall unmittelbar links davon.

Für jedes Intervall:

$-3 \leq x < -2: f(x) = 2(-3) - 1 = -7$
$-2 \leq x < -1: f(x) = 2(-2) - 1 = -5$
$-1 \leq x < 0: f(x) = 2(-1) - 1 = -3$
$0 \leq x < 1: f(x) = 2(0) - 1 = -1$
$1 \leq x < 2: f(x) = 2(1) - 1 = 1$
$2 \leq x < 3: f(x) = 2(2) - 1 = 3$
Am Endpunkt gilt $f(3)=2\lfloor3\rfloor-1=5$

Der folgende Graph zeigt den Funktionswert in jedem Intervall und an den Randpunkten:

Graph von

f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1

Der Graph entsteht aus der Abrundungsfunktion durch eine vertikale Streckung mit dem Faktor

2

und eine Verschiebung um

1

nach unten.

$Aufgabe 4$ . Verwende die $einschließende Ungleichung der Abrundung$ , subtrahiere überall eins und teile anschließend alle drei Ausdrücke durch zwei.

5 \leq 2x + 1 < 6

Die Lösungsmenge ist also $\{x\mid 2 \leq x < 2{,}5\}$ .

$Aufgabe 5$ . Gezählt werden $Aufwärtsfahrten mit Fahrgästen$ . Notwendige leere Rückfahrten zählen nicht dazu. Für neun Personen reicht eine volle Fahrt nicht aus:

9=8+1,\qquad \lceil9/8\rceil=2

Sei $n\in\mathbb{Z}_{\geq0}$ die Anzahl der Personen. Wenn der Aufzug höchstens $8 \text{ Personen}$ aufnehmen kann, beträgt die erforderliche Anzahl der Fahrten:

f(n) = \lceil \frac{n}{8} \rceil

Die Aufrundungsfunktion wird verwendet, weil jeder von null verschiedene Rest eine zusätzliche Fahrt erfordert. Für eine leere Warteschlange liefert die Formel außerdem $f(0)=0$ .

Konstante Werte auf einzelnen Intervallen

Definition einer Treppenfunktion

Die folgende Formel zeigt $endlich viele Intervalle$ . Bei der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion auf allen reellen Zahlen setzen sich die Intervalle nach links und rechts unbegrenzt fort.

Eine Stufenfunktion kann als stückweise Funktion der Form definiert werden:

f(x) = \begin{cases} c_1, & \text{wenn } a_1 \leq x < b_1 \\ c_2, & \text{wenn } a_2 \leq x < b_2 \\ c_3, & \text{wenn } a_3 \leq x < b_3 \\ \vdots \\ c_n, & \text{wenn } a_n \leq x < b_n \end{cases}

Dabei sind $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n$ Konstanten und $[a_i, b_i)$ nicht überlappende Intervalle.

$Eigenschaften von Stufenfunktionen$ :

Konstante Werte in jedem Intervall
Mögliche Sprungstellen an Intervallgrenzen
Graph in Form einer Treppe
Gehört zur Kategorie der stückweisen Funktionen

Typen von Stufenfunktionen

Abrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion, bezeichnet mit $\lfloor x \rfloor$ , gibt die $größte ganze Zahl$ an, die kleiner oder gleich $x$ ist.

\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\}

Der Graph markiert jeden enthaltenen linken Randpunkt ausgefüllt und jeden ausgeschlossenen rechten Randpunkt offen.

Abrundungsfunktion

f(x) = \lfloor x \rfloor

Der Graph ordnet jeder Zahl

x

die größte ganze Zahl zu, die

x

nicht überschreitet.

$Wertetabelle der Abrundungsfunktion$ :

$x$	$-2{,}5$	$-1{,}7$	$-1$	$-0{,}3$	$0$	$0{,}8$	$1$	$1{,}9$	$2{,}4$
$\lfloor x \rfloor$	$-3$	$-2$	$-1$	$-1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$2$

Aufrundungsfunktion

Die Aufrundungsfunktion, bezeichnet mit $\lceil x \rceil$ , gibt die $kleinste ganze Zahl$ an, die größer oder gleich $x$ ist.

\lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \geq x\}

Der Graph markiert jeden ausgeschlossenen linken Randpunkt offen und jeden enthaltenen rechten Randpunkt ausgefüllt.

Aufrundungsfunktion

f(x) = \lceil x \rceil

Der Graph ordnet jeder Zahl

x

die kleinste ganze Zahl zu, die

x

nicht unterschreitet.

Einheitssprungfunktion nach Heaviside

Die folgenden Beispiele verwenden eine verbreitete Konvention für die Einheitsschrittfunktion oder Heaviside-Funktion, bezeichnet mit $H(x)$ oder $u(x)$ :

H(x) = \begin{cases} 0, & \text{wenn } x < 0 \\ 1, & \text{wenn } x \geq 0 \end{cases}

Einheitsschrittfunktion

H(x)

Der Graph springt bei

x=0

vom Wert

0

auf den Wert

1

Eigenschaften von Stufenfunktionen

Bei Ab- und Aufrundung $begrenzen zwei ganze Zahlen die Eingabe$ . Für ganzzahlige Eingaben stimmen beide Ergebnisse überein, sonst unterscheiden sie sich um eins.

$Besondere Eigenschaften der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion$ :

$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$
$\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil$
$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1 \text{ wenn } x \notin \mathbb{Z}$
$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor \text{wenn } x \in \mathbb{Z}$

$Vergleichstabelle der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion$ :

$x$	$\lfloor x \rfloor$	$\lceil x \rceil$	Unterschied
$-2{,}3$	$-3$	$-2$	$1$
$-1$	$-1$	$-1$	$0$
$0{,}7$	$0$	$1$	$1$
$2$	$2$	$2$	$0$
$3{,}8$	$3$	$4$	$1$

Transformationen von Stufenfunktionen

Vertikale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = \lfloor x \rfloor + k$ verschiebt die $Höhe des Graphen der Abrundungsfunktion$ nach oben (wenn $k > 0$ ) oder nach unten (wenn $k < 0$ ).

Vertikale Verschiebung der Abrundungsfunktion

Vergleich von

f(x) = \lfloor x \rfloor

mit

g(x) = \lfloor x \rfloor + 2

und

h(x) = \lfloor x \rfloor - 1

Horizontale Verschiebung

Übungsaufgaben

Die Aufgaben verbinden Abrundungs- und Aufrundungswerte mit einer Größe, die in ganzen Schritten wächst. Berechne zuerst den $ganzzahligen Anteil$ und fasse dann die Terme zusammen.

Bestimme den Wert von $\lfloor 3{,}7 \rfloor + \lceil -2{,}3 \rceil$
Eine Buchhandlung gewährt Rabatte abhängig von der Anzahl der gekauften Artikel:

$1\text{-}5$ Bücher: kein Rabatt
$6\text{-}10$ Bücher: $10\%$ Rabatt
$11\text{-}20$ Bücher: $15\%$ Rabatt
$> 20$ Bücher: $20\%$ Rabatt

Wenn der Preis pro Buch $\text{Rp}\,50{.}000$ beträgt, erstelle eine Funktion, die den Gesamtpreis nach Rabatt darstellt!

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$ für $-3 \leq x \leq 3$ .
Löse die Gleichung $\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$
Ein Aufzug kann maximal $8 \text{ Menschen}$ aufnehmen. Wenn es $n \text{ Menschen}$ gibt, die den Aufzug benutzen möchten, wie oft muss der Aufzug fahren?

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Bei einer $negativen Eingabe$ führt Abrunden zur kleineren ganzen Zahl, nicht in Richtung null.

\lfloor3{,}7\rfloor=3

$3$ ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $3{,}7$ ist.

\lceil-2{,}3\rceil=-2

$-2$ ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich $-2{,}3$ ist.

\lfloor 3{,}7 \rfloor + \lceil -2{,}3 \rceil = 3 + (-2) = 1

Der Rabatt gilt für den $gesamten Einkauf$ . Sechs Bücher erhalten beispielsweise zehn Prozent Rabatt:

H(6)=50000(6)(1-10/100)=270000

Sei $n\in\mathbb{N}$ die positive ganzzahlige Anzahl der gekauften Bücher. Dann beträgt der Gesamtpreis nach Rabatt:

H(n) = \begin{cases}\begin{gathered}50{.}000n\\\text{wenn } 1 \leq n \leq 5\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}9\\\text{wenn } 6 \leq n \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}85\\\text{wenn } 11 \leq n \leq 20\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50{.}000n \times 0{,}8\\\text{wenn } n > 20\end{gathered}\end{cases}

$Aufgabe 3$ . Prüfe den $rechten Rand des Definitionsbereichs$ gesondert: Der Wert bei $x=3$ unterscheidet sich vom Wert auf dem Intervall unmittelbar links davon.

Für jedes Intervall:

$-3 \leq x < -2: f(x) = 2(-3) - 1 = -7$
$-2 \leq x < -1: f(x) = 2(-2) - 1 = -5$
$-1 \leq x < 0: f(x) = 2(-1) - 1 = -3$
$0 \leq x < 1: f(x) = 2(0) - 1 = -1$
$1 \leq x < 2: f(x) = 2(1) - 1 = 1$
$2 \leq x < 3: f(x) = 2(2) - 1 = 3$
Am Endpunkt gilt $f(3)=2\lfloor3\rfloor-1=5$

Der folgende Graph zeigt den Funktionswert in jedem Intervall und an den Randpunkten:

Graph von

f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1

Der Graph entsteht aus der Abrundungsfunktion durch eine vertikale Streckung mit dem Faktor

2

und eine Verschiebung um

1

nach unten.

$Aufgabe 4$ . Verwende die $einschließende Ungleichung der Abrundung$ , subtrahiere überall eins und teile anschließend alle drei Ausdrücke durch zwei.

5 \leq 2x + 1 < 6

Die Lösungsmenge ist also $\{x\mid 2 \leq x < 2{,}5\}$ .

$Aufgabe 5$ . Gezählt werden $Aufwärtsfahrten mit Fahrgästen$ . Notwendige leere Rückfahrten zählen nicht dazu. Für neun Personen reicht eine volle Fahrt nicht aus:

9=8+1,\qquad \lceil9/8\rceil=2

Sei $n\in\mathbb{Z}_{\geq0}$ die Anzahl der Personen. Wenn der Aufzug höchstens $8 \text{ Personen}$ aufnehmen kann, beträgt die erforderliche Anzahl der Fahrten:

f(n) = \lceil \frac{n}{8} \rceil

Die Aufrundungsfunktion wird verwendet, weil jeder von null verschiedene Rest eine zusätzliche Fahrt erfordert. Für eine leere Warteschlange liefert die Formel außerdem $f(0)=0$ .