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Eine Stufenfunktion hat in jedem Intervall einen konstanten Wert und kann beim Übergang zum nächsten Intervall springen. Ihr Graph ähnelt einer Treppe: Waagerechte Abschnitte zeigen die konstanten Werte, getrennte Endpunkte kennzeichnen mögliche Sprungstellen.
Eine Stufenfunktion kann als stückweise Funktion der Form definiert werden:
Dabei sind Konstanten und nicht überlappende Intervalle.
Eigenschaften von Stufenfunktionen:
Die Abrundungsfunktion, bezeichnet mit , gibt die größte ganze Zahl an, die kleiner oder gleich ist.
Zum besseren Verständnis schauen wir uns das folgende Beispiel an:
Wertetabelle der Abrundungsfunktion:
Die Aufrundungsfunktion, bezeichnet mit , gibt die kleinste ganze Zahl an, die größer oder gleich ist.
Betrachten wir das folgende Beispiel:
In diesem Kapitel verwenden wir für die Einheitsschrittfunktion oder Heaviside-Funktion, bezeichnet mit oder , die folgende verbreitete Konvention:
Nach dieser Konvention hat die Einheitsschrittfunktion den Wert für und für . In anderen Fachgebieten wird manchmal oder gewählt. Deshalb muss der Wert an der Sprungstelle stets angegeben werden.
Allgemeine Eigenschaften:
Besondere Eigenschaften der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion:
Vergleichstabelle der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion:
| Unterschied | |||
|---|---|---|---|
Die Funktion verschiebt den Graphen der Abrundungsfunktion nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
Die Funktion verschiebt den Graphen nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ).
Bestimmen Sie den Wert von
Eine Buchhandlung gewährt Rabatte abhängig von der Anzahl der gekauften Artikel:
Bücher: kein Rabatt
Bücher: Rabatt
Bücher: Rabatt
Bücher: Rabatt
Wenn der Preis pro Buch beträgt, erstellen Sie eine Funktion, die den Gesamtpreis nach Rabatt darstellt!
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion für .
Lösen Sie die Gleichung
Ein Aufzug kann maximal aufnehmen. Wenn es gibt, die den Aufzug benutzen möchten, wie oft muss der Aufzug fahren?
Werte der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion berechnen:
Modell der Rabattfunktion für Buchhandlungen:
Sei die positive ganzzahlige Anzahl der gekauften Bücher. Dann beträgt der Gesamtpreis nach Rabatt:
Graph der Funktion :
Für jedes Intervall:
Lösen der Gleichung :
Erforderliche Anzahl der Aufzugsfahrten:
Sei die Anzahl der Personen. Wenn der Aufzug höchstens aufnehmen kann, beträgt die erforderliche Anzahl der Fahrten:
Der Graph sieht so aus:
Die Lösungsmenge ist also .
Die Aufrundungsfunktion wird verwendet, weil jeder von null verschiedene Rest eine zusätzliche Fahrt erfordert. Für eine leere Warteschlange liefert die Formel außerdem .
