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Die folgende Formel zeigt endlich viele Intervalle. Bei der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion auf allen reellen Zahlen setzen sich die Intervalle nach links und rechts unbegrenzt fort.
Eine Stufenfunktion kann als stückweise Funktion der Form definiert werden:
Dabei sind Konstanten und nicht überlappende Intervalle.
Eigenschaften von Stufenfunktionen:
Die Abrundungsfunktion rundet zur kleineren ganzen Zahl, die Aufrundungsfunktion zur größeren. Eine ganze Zahl bleibt unverändert. Die Heaviside-Funktion nimmt zwei konstante Werte an und springt einmal bei null.
Die Abrundungsfunktion, bezeichnet mit , gibt die größte ganze Zahl an, die kleiner oder gleich ist.
Der Graph markiert jeden enthaltenen linken Randpunkt ausgefüllt und jeden ausgeschlossenen rechten Randpunkt offen.
Wertetabelle der Abrundungsfunktion:
Die Aufrundungsfunktion, bezeichnet mit , gibt die kleinste ganze Zahl an, die größer oder gleich ist.
Der Graph markiert jeden ausgeschlossenen linken Randpunkt offen und jeden enthaltenen rechten Randpunkt ausgefüllt.
Die folgenden Beispiele verwenden eine verbreitete Konvention für die Einheitsschrittfunktion oder Heaviside-Funktion, bezeichnet mit oder :
Nach dieser Konvention hat die Einheitsschrittfunktion den Wert für und für . In anderen Fachgebieten wird manchmal oder gewählt. Deshalb muss der Wert an der Sprungstelle stets angegeben werden.
Der Definitionsbereich ergibt sich aus den festgelegten Intervallen und umfasst nicht automatisch alle reellen Zahlen. Die Beispiele hier haben diskrete Ausgaben. An einer Grenze entsteht nur dann ein Sprung, wenn sich die Konstanten auf beiden Seiten unterscheiden.
Bei Ab- und Aufrundung begrenzen zwei ganze Zahlen die Eingabe. Für ganzzahlige Eingaben stimmen beide Ergebnisse überein, sonst unterscheiden sie sich um eins.
Besondere Eigenschaften der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion:
Vergleichstabelle der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion:
| Unterschied | |||
|---|---|---|---|
Eine vertikale Verschiebung ändert die Höhe jeder Stufe, aber nicht die Intervallgrenzen. Eine horizontale Verschiebung bewegt die Grenzen. Vertikales Skalieren verändert die Sprunghöhen, horizontales Skalieren die Intervallbreiten.
Die Funktion verschiebt die Höhe des Graphen der Abrundungsfunktion nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
Die Funktion verschiebt den Graphen waagerecht. Der Sprung bei wandert für jede ganze Zahl nach . Bei wandert der Sprung von null nach zwei. Es ist kein erster Sprung, denn an jeder ganzen Zahl liegt eine Sprungstelle.
Die Aufgaben verbinden Abrundungs- und Aufrundungswerte mit einer Größe, die in ganzen Schritten wächst. Berechne zuerst den ganzzahligen Anteil und fasse dann die Terme zusammen.
Bestimme den Wert von
Eine Buchhandlung gewährt Rabatte abhängig von der Anzahl der gekauften Artikel:
Wenn der Preis pro Buch beträgt, erstelle eine Funktion, die den Gesamtpreis nach Rabatt darstellt!
Zeichne den Graphen der Funktion für .
Löse die Gleichung
Ein Aufzug kann maximal aufnehmen. Wenn es gibt, die den Aufzug benutzen möchten, wie oft muss der Aufzug fahren?
Aufgabe 1. Bei einer negativen Eingabe führt Abrunden zur kleineren ganzen Zahl, nicht in Richtung null.
ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.
ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich ist.
Aufgabe 2. Der Rabattsatz ist eine Stufenfunktion, der Gesamtpreis steigt jedoch innerhalb jeder Rabattstufe mit der Buchanzahl. Das folgende Preismodell ist daher stückweise auf ganzzahligen Buchanzahlen definiert und innerhalb der Stufen nicht konstant.
Der Rabatt gilt für den gesamten Einkauf. Sechs Bücher erhalten beispielsweise zehn Prozent Rabatt:
Sei die positive ganzzahlige Anzahl der gekauften Bücher. Dann beträgt der Gesamtpreis nach Rabatt:
Aufgabe 3. Prüfe den rechten Rand des Definitionsbereichs gesondert: Der Wert bei unterscheidet sich vom Wert auf dem Intervall unmittelbar links davon.
Für jedes Intervall:
Der folgende Graph zeigt den Funktionswert in jedem Intervall und an den Randpunkten:
Aufgabe 4. Verwende die einschließende Ungleichung der Abrundung, subtrahiere überall eins und teile anschließend alle drei Ausdrücke durch zwei.
Die Lösungsmenge ist also .
Aufgabe 5. Gezählt werden Aufwärtsfahrten mit Fahrgästen. Notwendige leere Rückfahrten zählen nicht dazu. Für neun Personen reicht eine volle Fahrt nicht aus:
Sei die Anzahl der Personen. Wenn der Aufzug höchstens aufnehmen kann, beträgt die erforderliche Anzahl der Fahrten:
Die Aufrundungsfunktion wird verwendet, weil jeder von null verschiedene Rest eine zusätzliche Fahrt erfordert. Für eine leere Warteschlange liefert die Formel außerdem .
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