Trigonometrische Identität

Gleichungen für alle zulässigen Winkel

Manche Gleichungen gelten für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen. Zum Beispiel ist $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ für alle Werte von $a$ und $b$ wahr. Solche Gleichungen heißen Identitäten.

In der Trigonometrie heißt eine Gleichung, $die für jeden Winkel ihres Definitionsbereichs gilt$ , $trigonometrische Identität$ . Mit Identitäten lassen sich Ausdrücke umformen, gleichwertige Darstellungen beweisen und Gleichungen lösen, ohne ihren Wert zu verändern.

Grundlegende trigonometrische Identitäten

Eine Identität verbindet $zwei gleichwertige Ausdrücke$ auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich. Du darfst die Formen austauschen, solange alle Nenner definiert bleiben. Durch Umformen darf sich der Definitionsbereich nicht unbemerkt erweitern.

Pythagoreische Identität

Ausgangspunkt ist der Einheitskreis. Der Punkt $P(x, y)$ gehört zum Winkel $\theta$ , gemessen von der positiven $x$ -Achse.

Einheitskreis und pythagoreische Identität

Beobachte, wie sich die Koordinaten des Punktes

P

mit dem Winkel ändern. Sie entsprechen den Werten von

\cos\theta

und

\sin\theta

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Bogenmaß

Auf dem Einheitskreis:

Radius: $r = 1$
Die $x$ -Koordinate ist $\cos \theta$
Die $y$ -Koordinate ist $\sin \theta$

Der Satz des Pythagoras liefert für den Punkt $P$ :

x^2 + y^2 = 1^2

Wir setzen die Werte für $x$ und $y$ ein:

(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1

Üblicherweise wird die Gleichung so geschrieben:

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Diese Gleichung heißt $pythagoreische Identität$ .

$Weitere Formen der pythagoreischen Identität$ :

Aus der obigen Grundidentität können wir zwei weitere Formen ableiten:

$Zweite Form$ : Beide Seiten durch $\cos^2 \theta$ dividieren (für $\cos \theta \neq 0$ )

\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}

$Dritte Form$ : Beide Seiten durch $\sin^2 \theta$ dividieren (für $\sin \theta \neq 0$ )

\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}

Reziproke Identitäten

Zu jeder trigonometrischen Funktion gehört eine Kehrwertbeziehung. Daraus entstehen die reziproken Identitäten:

\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}

Gleichwertig dazu gilt:

\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

Jede reziproke Identität gilt dort, wo beide Seiten definiert sind.

Beachte die $von null verschiedenen Nenner$ in jedem Paar. Ein Kehrwert ist etwas anderes als eine Umkehrfunktion wie Arkussinus.

Beziehung	Bedingung für beide Seiten
$\sin\theta=1/\csc\theta$	$\sin\theta\neq0$
$\cos\theta=1/\sec\theta$	$\cos\theta\neq0$
$\tan\theta=1/\cot\theta$	$\sin\theta\neq0,\ \cos\theta\neq0$

Quotientenidentitäten

Die Quotientenidentitäten drücken Tangens und Kotangens durch Sinus und Kosinus aus:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Auch diese Quotientenformen setzen einen von null verschiedenen Nenner voraus.

Visualisierung trigonometrischer Funktionen

Die Seitenverhältnisse des Dreiecks ergeben die Werte von

\sin

\cos

und

\tan

. Verändere den Winkel und beobachte, wie sich die drei Verhältnisse mitändern.

Beide Quotientenidentitäten folgen direkt aus den Definitionen der trigonometrischen Funktionen am $Einheitskreis$ .

Identitäten gerader und ungerader Funktionen

Bei negativen Winkeln haben trigonometrische Funktionen besondere Eigenschaften:

Gerade Funktion (Symmetrie um die $y$ -Achse):

\cos(-\theta) = \cos \theta

$Ungerade Funktionen (Symmetrie zum Ursprung)$ :

\sin(-\theta) = -\sin \theta

Erkunden gerader und ungerader Eigenschaften

Gib im Winkelfeld negative und positive Winkel ein. Vergleiche die Werte von

\cos

\sin

und

\tan

für entgegengesetzte Winkel.

\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos\theta = \frac{1}{2}

\tan\theta = \sqrt{3}

\theta = 60^\circ

1,05 Bogenmaß

Identitäten zum Beweisen verwenden

Beginne auf $einer Seite$ und forme sie mit bekannten Identitäten um, bis die andere Seite entsteht. Jeder Schritt erhält den Wert und die Bedingungen des Definitionsbereichs.

Ausdrücke vereinfachen

Vereinfache $\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta$

$Lösung$ :

\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta}

Verwende die pythagoräische Identität:

\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta = \frac{1}{\cos \theta}

Identitäten beweisen

Beweise, dass $\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \sec \theta$

$Lösung$ :

Wir beginnen mit der linken Seite:

Verwende $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ :

\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\sec \theta}

Die linke Seite ist damit zur rechten Seite geworden. Die Identität gilt auf dem gemeinsamen Definitionsbereich beider Seiten.

Trigonometrische Funktionswerte bestimmen

Der $Quadrant bestimmt das Vorzeichen$ , wenn eine Identität zwei mögliche Quadratwurzeln liefert. Das Quadrat des Kosinus bestimmt seinen Betrag. Der Quadrant entscheidet zwischen positiver und negativer Wurzel.

Identitätsanwendungen

Für $\sin \theta = \frac{3}{5}$ und $90^\circ < \theta < 180^\circ$ (Quadrant II) sind die übrigen trigonometrischen Funktionswerte gesucht.

$Lösung$ :

Mit der pythagoreischen Identität bestimmen wir zunächst $\cos \theta$ :

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Da $\theta$ im zweiten Quadranten liegt, gilt $\cos \theta < 0$ . Daher ist $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ .

Die übrigen Funktionswerte folgen aus den Quotienten- und Kehrwertidentitäten:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}

Übungen

Jede Aufgabe verlangt das Vereinfachen eines Terms oder den Beweis einer Identität. Schreibe zuerst jede Funktion als $Sinus oder Kosinus$ und vereinfache danach.

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta}$
Beweise die Identität $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$
Für $\cos \theta = \frac{5}{13}$ und $270^\circ < \theta < 360^\circ$ sind alle trigonometrischen Funktionswerte zu bestimmen.
Vereinfache $\sin^4 \theta - \cos^4 \theta$
Für $\tan \theta = \frac{4}{3}$ und $\sin \theta < 0$ sind $\sin \theta$ und $\cos \theta$ zu bestimmen.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Wir ersetzen den Tangens durch den Quotienten aus Sinus und Kosinus:

\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta}{\sin \theta}

Das Ergebnis gilt im $Definitionsbereich$ des ursprünglichen Ausdrucks, also für $\sin\theta \neq 0$ und $\cos\theta \neq 0$ .

$Aufgabe 2$ . Um die Identität zu beweisen, transformieren wir die $linke Seite$ :

\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \cdot \frac{1 - \cos \theta}{1 - \cos \theta}

Damit ist die Gleichheit für alle Winkel bewiesen, für die beide ursprünglichen Seiten definiert sind.

$Aufgabe 3$ . Gegeben $\cos \theta = \frac{5}{13}$ im Quadranten IV.

Zunächst bestimmen wir $\sin \theta$ . Im vierten Quadranten ist der Sinus negativ:

\begin{aligned} \sin^2 \theta &= 1 - \cos^2 \theta \\ &= 1 - \frac{25}{169} \\ &= \frac{144}{169} \end{aligned}

Der Wert ist in $Quadrant$ IV negativ:

\sin\theta=-\frac{12}{13}

Weitere trigonometrische Funktionen:

\tan \theta = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}

$Aufgabe 4$ . Wir faktorisieren als $Differenz zweier Quadrate$ und setzen anschließend die pythagoreische Identität ein:

\begin{aligned} &\sin^4\theta-\cos^4\theta \\ &=(\sin^2\theta)^2-(\cos^2\theta)^2 \end{aligned}

$Aufgabe 5$ . Gegeben sind $\tan \theta = \frac{4}{3}$ und $\sin \theta < 0$ .

Aus $\tan \theta > 0$ und $\sin \theta < 0$ folgt $\cos \theta < 0$ ( $Quadrant$ III).

Mit der Identität $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ folgt:

1 + \frac{16}{9} = \sec^2 \theta

Der Wert ist in Quadrant III negativ:

\sec\theta=-\frac53

Für $\sin \theta$ :

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Gleichungen für alle zulässigen Winkel

Manche Gleichungen gelten für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen. Zum Beispiel ist $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ für alle Werte von $a$ und $b$ wahr. Solche Gleichungen heißen Identitäten.

Grundlegende trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identität

Ausgangspunkt ist der Einheitskreis. Der Punkt $P(x, y)$ gehört zum Winkel $\theta$ , gemessen von der positiven $x$ -Achse.

Einheitskreis und pythagoreische Identität

Beobachte, wie sich die Koordinaten des Punktes

P

mit dem Winkel ändern. Sie entsprechen den Werten von

\cos\theta

und

\sin\theta

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Bogenmaß

Auf dem Einheitskreis:

Radius: $r = 1$
Die $x$ -Koordinate ist $\cos \theta$
Die $y$ -Koordinate ist $\sin \theta$

Der Satz des Pythagoras liefert für den Punkt $P$ :

x^2 + y^2 = 1^2

Wir setzen die Werte für $x$ und $y$ ein:

(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1

Üblicherweise wird die Gleichung so geschrieben:

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Diese Gleichung heißt $pythagoreische Identität$ .

$Weitere Formen der pythagoreischen Identität$ :

Aus der obigen Grundidentität können wir zwei weitere Formen ableiten:

$Zweite Form$ : Beide Seiten durch $\cos^2 \theta$ dividieren (für $\cos \theta \neq 0$ )

\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}

$Dritte Form$ : Beide Seiten durch $\sin^2 \theta$ dividieren (für $\sin \theta \neq 0$ )

\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}

Reziproke Identitäten

Zu jeder trigonometrischen Funktion gehört eine Kehrwertbeziehung. Daraus entstehen die reziproken Identitäten:

\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}

Gleichwertig dazu gilt:

\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

Jede reziproke Identität gilt dort, wo beide Seiten definiert sind.

Beachte die $von null verschiedenen Nenner$ in jedem Paar. Ein Kehrwert ist etwas anderes als eine Umkehrfunktion wie Arkussinus.

Beziehung	Bedingung für beide Seiten
$\sin\theta=1/\csc\theta$	$\sin\theta\neq0$
$\cos\theta=1/\sec\theta$	$\cos\theta\neq0$
$\tan\theta=1/\cot\theta$	$\sin\theta\neq0,\ \cos\theta\neq0$

Quotientenidentitäten

Die Quotientenidentitäten drücken Tangens und Kotangens durch Sinus und Kosinus aus:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Auch diese Quotientenformen setzen einen von null verschiedenen Nenner voraus.

Visualisierung trigonometrischer Funktionen

Die Seitenverhältnisse des Dreiecks ergeben die Werte von

\sin

\cos

und

\tan

. Verändere den Winkel und beobachte, wie sich die drei Verhältnisse mitändern.

Beide Quotientenidentitäten folgen direkt aus den Definitionen der trigonometrischen Funktionen am $Einheitskreis$ .

Identitäten gerader und ungerader Funktionen

Bei negativen Winkeln haben trigonometrische Funktionen besondere Eigenschaften:

Gerade Funktion (Symmetrie um die $y$ -Achse):

\cos(-\theta) = \cos \theta

$Ungerade Funktionen (Symmetrie zum Ursprung)$ :

\sin(-\theta) = -\sin \theta

Erkunden gerader und ungerader Eigenschaften

Gib im Winkelfeld negative und positive Winkel ein. Vergleiche die Werte von

\cos

\sin

und

\tan

für entgegengesetzte Winkel.

\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos\theta = \frac{1}{2}

\tan\theta = \sqrt{3}

\theta = 60^\circ

1,05 Bogenmaß

Identitäten zum Beweisen verwenden

Beginne auf $einer Seite$ und forme sie mit bekannten Identitäten um, bis die andere Seite entsteht. Jeder Schritt erhält den Wert und die Bedingungen des Definitionsbereichs.

Ausdrücke vereinfachen

Vereinfache $\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta$

$Lösung$ :

\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta}

Verwende die pythagoräische Identität:

\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta = \frac{1}{\cos \theta}

Identitäten beweisen

Beweise, dass $\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \sec \theta$

$Lösung$ :

Wir beginnen mit der linken Seite:

Verwende $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ :

\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\sec \theta}

Die linke Seite ist damit zur rechten Seite geworden. Die Identität gilt auf dem gemeinsamen Definitionsbereich beider Seiten.

Trigonometrische Funktionswerte bestimmen

Identitätsanwendungen

Für $\sin \theta = \frac{3}{5}$ und $90^\circ < \theta < 180^\circ$ (Quadrant II) sind die übrigen trigonometrischen Funktionswerte gesucht.

$Lösung$ :

Mit der pythagoreischen Identität bestimmen wir zunächst $\cos \theta$ :

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Da $\theta$ im zweiten Quadranten liegt, gilt $\cos \theta < 0$ . Daher ist $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ .

Die übrigen Funktionswerte folgen aus den Quotienten- und Kehrwertidentitäten:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}

Übungen

Jede Aufgabe verlangt das Vereinfachen eines Terms oder den Beweis einer Identität. Schreibe zuerst jede Funktion als $Sinus oder Kosinus$ und vereinfache danach.

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta}$
Beweise die Identität $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$
Für $\cos \theta = \frac{5}{13}$ und $270^\circ < \theta < 360^\circ$ sind alle trigonometrischen Funktionswerte zu bestimmen.
Vereinfache $\sin^4 \theta - \cos^4 \theta$
Für $\tan \theta = \frac{4}{3}$ und $\sin \theta < 0$ sind $\sin \theta$ und $\cos \theta$ zu bestimmen.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Wir ersetzen den Tangens durch den Quotienten aus Sinus und Kosinus:

\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta}{\sin \theta}

Das Ergebnis gilt im $Definitionsbereich$ des ursprünglichen Ausdrucks, also für $\sin\theta \neq 0$ und $\cos\theta \neq 0$ .

$Aufgabe 2$ . Um die Identität zu beweisen, transformieren wir die $linke Seite$ :

\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \cdot \frac{1 - \cos \theta}{1 - \cos \theta}

Damit ist die Gleichheit für alle Winkel bewiesen, für die beide ursprünglichen Seiten definiert sind.

$Aufgabe 3$ . Gegeben $\cos \theta = \frac{5}{13}$ im Quadranten IV.

Zunächst bestimmen wir $\sin \theta$ . Im vierten Quadranten ist der Sinus negativ:

\begin{aligned} \sin^2 \theta &= 1 - \cos^2 \theta \\ &= 1 - \frac{25}{169} \\ &= \frac{144}{169} \end{aligned}

Der Wert ist in $Quadrant$ IV negativ:

\sin\theta=-\frac{12}{13}

Weitere trigonometrische Funktionen:

\tan \theta = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}

$Aufgabe 4$ . Wir faktorisieren als $Differenz zweier Quadrate$ und setzen anschließend die pythagoreische Identität ein:

\begin{aligned} &\sin^4\theta-\cos^4\theta \\ &=(\sin^2\theta)^2-(\cos^2\theta)^2 \end{aligned}

$Aufgabe 5$ . Gegeben sind $\tan \theta = \frac{4}{3}$ und $\sin \theta < 0$ .

Aus $\tan \theta > 0$ und $\sin \theta < 0$ folgt $\cos \theta < 0$ ( $Quadrant$ III).

Mit der Identität $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ folgt:

1 + \frac{16}{9} = \sec^2 \theta

Der Wert ist in Quadrant III negativ:

\sec\theta=-\frac53

Für $\sin \theta$ :

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}