Gleichungen für alle zulässigen Winkel
Manche Gleichungen gelten für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen. Zum Beispiel ist für alle Werte von und wahr. Solche Gleichungen heißen Identitäten.
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In der Trigonometrie heißt eine Gleichung, die für jeden Winkel ihres Definitionsbereichs gilt, trigonometrische Identität. Mit Identitäten lassen sich Ausdrücke umformen, gleichwertige Darstellungen beweisen und Gleichungen lösen, ohne ihren Wert zu verändern.
Eine Identität verbindet zwei gleichwertige Ausdrücke auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich. Du darfst die Formen austauschen, solange alle Nenner definiert bleiben. Durch Umformen darf sich der Definitionsbereich nicht unbemerkt erweitern.
Ausgangspunkt ist der Einheitskreis. Der Punkt gehört zum Winkel , gemessen von der positiven -Achse.
Auf dem Einheitskreis:
Der Satz des Pythagoras liefert für den Punkt :
Wir setzen die Werte für und ein:
Üblicherweise wird die Gleichung so geschrieben:
Diese Gleichung heißt pythagoreische Identität.
Weitere Formen der pythagoreischen Identität:
Aus der obigen Grundidentität können wir zwei weitere Formen ableiten:
Zweite Form: Beide Seiten durch dividieren (für )
Dritte Form: Beide Seiten durch dividieren (für )
Zu jeder trigonometrischen Funktion gehört eine Kehrwertbeziehung. Daraus entstehen die reziproken Identitäten:
Gleichwertig dazu gilt:
Jede reziproke Identität gilt dort, wo beide Seiten definiert sind.
Beachte die von null verschiedenen Nenner in jedem Paar. Ein Kehrwert ist etwas anderes als eine Umkehrfunktion wie Arkussinus.
| Beziehung | Bedingung für beide Seiten |
|---|---|
Die Quotientenidentitäten drücken Tangens und Kotangens durch Sinus und Kosinus aus:
Auch diese Quotientenformen setzen einen von null verschiedenen Nenner voraus.
Beide Quotientenidentitäten folgen direkt aus den Definitionen der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.
Bei negativen Winkeln haben trigonometrische Funktionen besondere Eigenschaften:
Gerade Funktion (Symmetrie um die -Achse):
Ungerade Funktionen (Symmetrie zum Ursprung):
Beginne auf einer Seite und forme sie mit bekannten Identitäten um, bis die andere Seite entsteht. Jeder Schritt erhält den Wert und die Bedingungen des Definitionsbereichs.
Vereinfache
Lösung:
Verwende die pythagoräische Identität:
Beweise, dass
Lösung:
Wir beginnen mit der linken Seite:
Verwende :
Die linke Seite ist damit zur rechten Seite geworden. Die Identität gilt auf dem gemeinsamen Definitionsbereich beider Seiten.
Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen, wenn eine Identität zwei mögliche Quadratwurzeln liefert. Das Quadrat des Kosinus bestimmt seinen Betrag. Der Quadrant entscheidet zwischen positiver und negativer Wurzel.
Für und (Quadrant II) sind die übrigen trigonometrischen Funktionswerte gesucht.
Lösung:
Mit der pythagoreischen Identität bestimmen wir zunächst :
Da im zweiten Quadranten liegt, gilt . Daher ist .
Die übrigen Funktionswerte folgen aus den Quotienten- und Kehrwertidentitäten:
Jede Aufgabe verlangt das Vereinfachen eines Terms oder den Beweis einer Identität. Schreibe zuerst jede Funktion als Sinus oder Kosinus und vereinfache danach.
Vereinfache den Ausdruck
Beweise die Identität
Für und sind alle trigonometrischen Funktionswerte zu bestimmen.
Vereinfache
Für und sind und zu bestimmen.
Aufgabe 1. Wir ersetzen den Tangens durch den Quotienten aus Sinus und Kosinus:
Das Ergebnis gilt im Definitionsbereich des ursprünglichen Ausdrucks, also für und .
Aufgabe 2. Um die Identität zu beweisen, transformieren wir die linke Seite:
Damit ist die Gleichheit für alle Winkel bewiesen, für die beide ursprünglichen Seiten definiert sind.
Aufgabe 3. Gegeben im Quadranten IV.
Zunächst bestimmen wir . Im vierten Quadranten ist der Sinus negativ:
Der Wert ist in Quadrant IV negativ:
Weitere trigonometrische Funktionen:
Aufgabe 4. Wir faktorisieren als Differenz zweier Quadrate und setzen anschließend die pythagoreische Identität ein:
Aufgabe 5. Gegeben sind und .
Aus und folgt (Quadrant III).
Mit der Identität folgt:
Der Wert ist in Quadrant III negativ:
Für :
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