Trigonometrische Identitäten verstehen
Manche Gleichungen gelten für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen. Zum Beispiel ist für alle Werte von und wahr. Solche Gleichungen heißen Identitäten.
For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Manche Gleichungen gelten für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen. Zum Beispiel ist für alle Werte von und wahr. Solche Gleichungen heißen Identitäten.
In der Trigonometrie heißt eine Gleichung, die für jeden Winkel ihres Definitionsbereichs gilt, trigonometrische Identität. Mit Identitäten lassen sich Ausdrücke umformen, gleichwertige Darstellungen beweisen und Gleichungen lösen, ohne ihren Wert zu verändern.
Ausgangspunkt ist der Einheitskreis. Der Punkt gehört zum Winkel , gemessen von der positiven -Achse.
Auf dem Einheitskreis:
Der Satz des Pythagoras liefert für den Punkt :
Wir setzen die Werte für und ein:
Üblicherweise wird die Gleichung so geschrieben:
Dies ist die pythagoreische Identität, die grundlegendste Identität in der Trigonometrie.
Weitere Formen der pythagoreischen Identität:
Aus der obigen Grundidentität können wir zwei weitere Formen ableiten:
Zweite Form: Beide Seiten durch dividieren (für )
Dritte Form: Beide Seiten durch dividieren (für )
Zu jeder trigonometrischen Funktion gehört eine Kehrwertbeziehung. Daraus entstehen die reziproken Identitäten:
Gleichwertig dazu gilt:
Jede reziproke Identität gilt dort, wo beide Seiten definiert sind.
Die Quotientenidentitäten drücken Tangens und Kotangens durch Sinus und Kosinus aus:
Auch diese Quotientenformen setzen einen von null verschiedenen Nenner voraus.
Beide Quotientenidentitäten folgen direkt aus den Definitionen der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.
Bei negativen Winkeln haben trigonometrische Funktionen besondere Eigenschaften:
Gerade Funktion (Symmetrie um die -Achse):
Ungerade Funktionen (Symmetrie zum Ursprung):
Beim Beweisen wird eine Seite mit bekannten Identitäten so lange umgeformt, bis sie der anderen Seite entspricht.
Vereinfache
Lösung:
Beweise, dass
Lösung:
Wir beginnen mit der linken Seite:
Die linke Seite ist damit zur rechten Seite geworden. Die Identität gilt auf dem gemeinsamen Definitionsbereich beider Seiten.
Ist der Wert einer trigonometrischen Funktion bekannt, lassen sich die übrigen Werte mit Identitäten und der Lage des Winkels bestimmen.
Für und (Quadrant II) sind die übrigen trigonometrischen Funktionswerte gesucht.
Lösung:
Mit der pythagoreischen Identität bestimmen wir zunächst :
Da im zweiten Quadranten liegt, gilt . Daher ist .
Die übrigen Funktionswerte folgen aus den Quotienten- und Kehrwertidentitäten:
Vereinfache den Ausdruck
Beweise die Identität
Für und sind alle trigonometrischen Funktionswerte zu bestimmen.
Vereinfache
Für und sind und zu bestimmen.
Wir ersetzen den Tangens durch den Quotienten aus Sinus und Kosinus:
Das Ergebnis gilt im Definitionsbereich des ursprünglichen Ausdrucks, also für und .
Um die Identität zu beweisen, transformieren wir die linke Seite:
Gegeben im Quadranten IV.
Zunächst bestimmen wir . Im vierten Quadranten ist der Sinus negativ:
Wir faktorisieren als Differenz zweier Quadrate und setzen anschließend die pythagoreische Identität ein:
Gegeben sind und .
Aus und folgt (Quadrant III).
Damit ist die Gleichheit für alle Winkel bewiesen, für die beide ursprünglichen Seiten definiert sind.
Weitere trigonometrische Funktionen:
Mit der Identität folgt:
Für :