Addition und Subtraktion von Funktionen

Funktionen kombinieren

Zwei Funktionen können an derselben Eingabe miteinander verknüpft werden. Für ein $x$ werden $f(x)$ und $g(x)$ berechnet und anschließend addiert oder subtrahiert. Die Eingabe muss $in beiden Definitionsbereichen$ $D_f$ und $D_g$ liegen.

Visualisierung der Funktionsaddition

Beobachte, wie die Geraden

f(x)=x

und

g(x)=2

zur neuen Geraden

(f+g)(x)=x+2

zusammenwirken.

Addition zweier Funktionen

Die Summenfunktion addiert $beide Funktionswerte an derselben Eingabe$ :

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Die Summe $(f+g)$ ist nur dort definiert, wo beide Ausgangsfunktionen definiert sind. Ihr Definitionsbereich ist deshalb $die Schnittmenge beider Definitionsbereiche$ :

D_{f+g} = D_f \cap D_g

Das bedeutet, dass $x$ Element von $D_f$ $UND$ auch Element von $D_g$ sein muss.

Beispiel einer Addition

Angenommen, wir haben zwei Funktionen:

$f(x) = x^2$ , mit Definitionsbereich $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (alle reellen Zahlen).
$g(x) = \sqrt{x+2}$ , mit Definitionsbereich $D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ (alle reellen Zahlen größer oder gleich $-2$ , weil der Ausdruck unter der Quadratwurzel, $x+2$ , $mindestens null$ sein muss).

$Schritt 1$ : Bestimme die resultierende Funktion aus der Addition

\begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= x^2 + \sqrt{x+2} \end{aligned}

$Schritt 2$ : Bestimme den Definitionsbereich der resultierenden Funktion

Wir finden die $Schnittmenge$ von $D_f$ und $D_g$ :

\begin{aligned} &D_{f+g} = D_f \cap D_g \\ &= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\} \end{aligned}

Die Summe ist also $(f+g)(x) = x^2 + \sqrt{x+2}$ mit dem Definitionsbereich $\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ .

Subtraktion zweier Funktionen

Um die Funktion $g$ von der Funktion $f$ abzuziehen, ziehen wir für dieselbe Eingabe den Funktionswert $g(x)$ von $f(x)$ ab. Diese Eingabe bezeichnen wir mit $x$ . Das Ergebnis ist die neue Funktion $(f-g)$ .

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

Auch hier ist der $Definitionsbereich$ die Schnittmenge der Definitionsbereiche von $f$ und $g$ . Schließlich muss $x$ in beiden Definitionsbereichen liegen.

D_{f-g} = D_f \cap D_g

Beispiel für Subtraktion

Wir verwenden die gleichen Funktionen wie im Additionsbeispiel:

$f(x) = x^2$ , $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
$g(x) = \sqrt{x+2}$ , $D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$

$Schritt 1$ : Bestimme die resultierende Funktion aus der Subtraktion

\begin{aligned} (f-g)(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^2 - \sqrt{x+2} \end{aligned}

$Schritt 2$ : Bestimme den Definitionsbereich der resultierenden Funktion

Sein Definitionsbereich ist derselbe wie der Definitionsbereich des Additionsergebnisses, da die Schnittregel dieselbe ist:

\begin{aligned} &D_{f-g} = D_f \cap D_g \\ &= \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\} \end{aligned}

Die Differenz ist also $(f-g)(x) = x^2 - \sqrt{x+2}$ mit dem Definitionsbereich $\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ .

Vergleiche für dieselbe Eingabe die Summen und Differenzen in der Tabelle. Wenn du $die Subtraktion umkehrst$ , ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses.

$x$	$f(x)$	$g(x)$	$(f+g)(x)$	$(f-g)(x)$
$-2$	$4$	$0$	$4$	$4$
$-1$	$1$	$1$	$2$	$0$
$2$	$4$	$2$	$6$	$2$

Übungsaufgaben

Gegeben seien die Funktionen $f(x) = 2x - 1$ mit $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ und die Funktion $g(x) = x^2 + 3$ mit $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ .

Bestimme $(f+g)(x)$ und seinen $Definitionsbereich$ $D_{f+g}$ .
Bestimme $(f-g)(x)$ und seinen Definitionsbereich $D_{f-g}$ .
Berechne den Wert von $(f+g)(2)$ .
Berechne den Wert von $(f-g)(-1)$ .

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Addiere die beiden Funktionswerte an derselben Stelle und fasse gleichartige Terme zusammen.

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Definitionsbereich $D_{f+g}$ :

D_{f+g} = D_f \cap D_g

Damit gilt $(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$ für $alle reellen Zahlen$ .

$Aufgabe 2$ . Ziehe den gesamten zweiten Funktionswert vom ersten ab. Das Minuszeichen gilt für jeden Term in der Klammer.

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

Definitionsbereich $D_{f-g}$ :

D_{f-g} = D_f \cap D_g

Damit gilt $(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$ für $alle reellen Zahlen$ .

$Aufgabe 3$ . Setze die verlangte Eingabe in die $berechnete Summenfunktion$ ein: $(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$

(f+g)(2) = (2)^2 + 2(2) + 2

$Aufgabe 4$ . Setze die verlangte Eingabe in die $berechnete Differenzfunktion$ ein: $(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$

\begin{aligned} &(f-g)(-1) \\ &= -(-1)^2 + 2(-1) - 4 \end{aligned}

Funktionen kombinieren

Visualisierung der Funktionsaddition

Beobachte, wie die Geraden

f(x)=x

und

g(x)=2

zur neuen Geraden

(f+g)(x)=x+2

zusammenwirken.

Addition zweier Funktionen

Die Summenfunktion addiert $beide Funktionswerte an derselben Eingabe$ :

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Die Summe $(f+g)$ ist nur dort definiert, wo beide Ausgangsfunktionen definiert sind. Ihr Definitionsbereich ist deshalb $die Schnittmenge beider Definitionsbereiche$ :

D_{f+g} = D_f \cap D_g

Das bedeutet, dass $x$ Element von $D_f$ $UND$ auch Element von $D_g$ sein muss.

Beispiel einer Addition

Angenommen, wir haben zwei Funktionen:

$f(x) = x^2$ , mit Definitionsbereich $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (alle reellen Zahlen).
$g(x) = \sqrt{x+2}$ , mit Definitionsbereich $D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ (alle reellen Zahlen größer oder gleich $-2$ , weil der Ausdruck unter der Quadratwurzel, $x+2$ , $mindestens null$ sein muss).

$Schritt 1$ : Bestimme die resultierende Funktion aus der Addition

\begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &= x^2 + \sqrt{x+2} \end{aligned}

$Schritt 2$ : Bestimme den Definitionsbereich der resultierenden Funktion

Wir finden die $Schnittmenge$ von $D_f$ und $D_g$ :

\begin{aligned} &D_{f+g} = D_f \cap D_g \\ &= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\} \end{aligned}

Die Summe ist also $(f+g)(x) = x^2 + \sqrt{x+2}$ mit dem Definitionsbereich $\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ .

Subtraktion zweier Funktionen

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

Auch hier ist der $Definitionsbereich$ die Schnittmenge der Definitionsbereiche von $f$ und $g$ . Schließlich muss $x$ in beiden Definitionsbereichen liegen.

D_{f-g} = D_f \cap D_g

Beispiel für Subtraktion

Wir verwenden die gleichen Funktionen wie im Additionsbeispiel:

$f(x) = x^2$ , $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
$g(x) = \sqrt{x+2}$ , $D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$

$Schritt 1$ : Bestimme die resultierende Funktion aus der Subtraktion

\begin{aligned} (f-g)(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^2 - \sqrt{x+2} \end{aligned}

$Schritt 2$ : Bestimme den Definitionsbereich der resultierenden Funktion

Sein Definitionsbereich ist derselbe wie der Definitionsbereich des Additionsergebnisses, da die Schnittregel dieselbe ist:

\begin{aligned} &D_{f-g} = D_f \cap D_g \\ &= \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\} \end{aligned}

Die Differenz ist also $(f-g)(x) = x^2 - \sqrt{x+2}$ mit dem Definitionsbereich $\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ .

Vergleiche für dieselbe Eingabe die Summen und Differenzen in der Tabelle. Wenn du $die Subtraktion umkehrst$ , ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses.

$x$	$f(x)$	$g(x)$	$(f+g)(x)$	$(f-g)(x)$
$-2$	$4$	$0$	$4$	$4$
$-1$	$1$	$1$	$2$	$0$
$2$	$4$	$2$	$6$	$2$

Übungsaufgaben

Gegeben seien die Funktionen $f(x) = 2x - 1$ mit $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ und die Funktion $g(x) = x^2 + 3$ mit $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ .

Bestimme $(f+g)(x)$ und seinen $Definitionsbereich$ $D_{f+g}$ .
Bestimme $(f-g)(x)$ und seinen Definitionsbereich $D_{f-g}$ .
Berechne den Wert von $(f+g)(2)$ .
Berechne den Wert von $(f-g)(-1)$ .

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Addiere die beiden Funktionswerte an derselben Stelle und fasse gleichartige Terme zusammen.

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Definitionsbereich $D_{f+g}$ :

D_{f+g} = D_f \cap D_g

Damit gilt $(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$ für $alle reellen Zahlen$ .

$Aufgabe 2$ . Ziehe den gesamten zweiten Funktionswert vom ersten ab. Das Minuszeichen gilt für jeden Term in der Klammer.

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

Definitionsbereich $D_{f-g}$ :

D_{f-g} = D_f \cap D_g

Damit gilt $(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$ für $alle reellen Zahlen$ .

$Aufgabe 3$ . Setze die verlangte Eingabe in die $berechnete Summenfunktion$ ein: $(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$

(f+g)(2) = (2)^2 + 2(2) + 2

$Aufgabe 4$ . Setze die verlangte Eingabe in die $berechnete Differenzfunktion$ ein: $(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$

\begin{aligned} &(f-g)(-1) \\ &= -(-1)^2 + 2(-1) - 4 \end{aligned}